供的木材、玻璃和工人劳动时间分别为600单位、1000单位与400小时，详细的数据资料见下表。问：
（1）应如何安排这四种家具的日产量，使得该厂的日利润最大？ （2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1小时？
（3）如果可提供的工人劳动时间变为398小时，该厂的日利润有何变化？ （4）该厂应优先考虑购买何种资源？
（5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60元下降到55元，问该厂的生产计划及日利润将如何变化？
表2—1 雅致家具厂基本数据 家 具 类 型 劳 动 时 间 1 2 3 4 可提供量 2 1 3 2 400小时 木 材 4 2 1 2 600单位 玻 璃 6 2 1 2 单位产品利润 最大销售量 （元/件） 60 20 40 30 （件） 100 200 50 100 （小时/件） （单位/件） （单位/件） 1000单位 解：依题意，设置四种家具的日产量分别为决策变量x1,x2,x3,x4,目标要求是日利润最大化，约束条件为三种资源的供应量限制和产品销售量限制。 据此，列出下面的线性规划模型：
MaxZ?60x1?20x2?40x3?30x4①
（木材约束）?4x1?2x2?x3?2x4?600②?③?6x1?2x2?x3?2x4?1000（玻璃约束）?2x1?1x2?3x3?2x4?400（劳动时间约束）④?⑤（家具1需求量约束）?x?100s.t.?1⑥（家具2需求量约束）?x2?200⑦?x3?50（家具3需求量约束）?⑧
（家具4需求量约束）?x4?100?x,x,x,x?0（非负约束）?1234其中X1,X2,X3,X4分别为四种家具的日产量。
下面介绍用Excel中的“规划求解”功能建模与求解。 第一步 在Excel中描述问题、建立模型，如图2—6所示。
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图2—6 输入数据建立模型
第二步 在“工具”菜单中选择“规划求解”。
图2—7 规划求解
第三步 在“规划求解参数”对话框进行选择如图2—8所示。
图2—8 规划求解参数
第四步 点击“选项”按钮，弹出“规划求解选项”对话框。
图2—9 规划求解选项
第五步 选择“采用线性模型”和“假定非负”，单击“确定”，返回如图2—10所示。单击“求解”，即可求解此题。
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图2—10 线性规划求解
最后结果如图2—11所示。
图2—11 求解的结果 与此结果对应的敏感性报告如图2—12所示。
图2—12 敏感性报告
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说明：（1）可变单元格表中，终值对应决策变量的最优解；递减成本指目标函数中决策变量的系数必须改进多少才能得到该决策变量的正数解，改进对最大值为增加，对最小值为减少。（2）允许的增量（或减量）指在保证最优解不变的前提下，目标函数系数的允许变化值。（3）在约束表中，终值是指约束的实际用量；影子价格式指约束条件右边增加（或减少）一个单位，目标值增加（或减少）的数值；这里的允许的增量（或减量）是指在影子价格保持不变的前提下，终值的变化范围。
根据模型运行结果可作出如下分析：
(1)由模型的解可知，雅致家具厂四种家具的最优日产量分别为100件、80件、40件和0件，这时该厂的日利润最大，为9200元。
本问题的敏感性报告如上页表所示。
由上述敏感性报告可进行灵敏度分析，并回答题目中的问题(2)一(5)。
(2)由敏感性报告可知，劳动时间的影子价格为12元，即在劳动时间的增量不超过25小时的条件下，每增加l小时劳动时间，该厂的利润(目标值)将增加12元。
因此，付给某工人10元以增加l小时劳动时间是值得的，可多获利为：
12—10＝2(元)。
(3)当可提供的劳动时间从400小时减少为398小时时，该减少量在允许的减量(100小时)内，所以劳动时间的影子价格不变，仍为12元。
因此，该厂的利润变为：
9200+12X(398—400)＝9 176(元)。
(4)由敏感性报告可见，劳动时间与木材这两种资源的使用量等于可提供量，所以它们的约束条件为“紧”的，即无余量的；而玻璃的使用量为800，可提供量为1000，所以玻璃的约束条件是“非紧”的，即有余量的。
因此，应优先考虑购买劳动时间与木材这两种资源。
(5)由敏感性报告可知，家具1的目标系数(即单位利润)允许的减量为20，即当家具1的单位利润减少量不超过20元时，最优解不变。因此，若家具1的单位利润从60元下降到55元，下降量为5元，该下降量在允许的减量范围内，这时，最优解不变。
因此，四种家具的最优日产量仍分别为100件、80件、40件和0件。 最优值变为：
9200+(55－60)X100＝8 700(元)。
第二节 运输问题
例 海华设备厂均衡运输问题
海华设备厂下设三个位于不同地点的分厂A，B，C，该三个分厂生产同一种设备，设每月的生产能力分别为20台、30台和40台。海华设备厂有四个固定用户，该四个用户下月的设备需求量分别为20台、15台、23台和32台。设各分厂的生产成本相同，从各分厂至各用户的单位设备运输成本如下表所示，而且各分厂本月末的设备库存量为零。问该厂应如何安排下月的生产与运输，才能在满足四个用户需求的前提下使总运输成本最低。
表2—3 海华设备厂运输成本表
分厂—名称 分厂A 分厂B 分厂C 运输成本(元／台) 用户l 用户2 70 80 80 40 100 70 15 用户3 80 110 130 23 用户4 60 50 40 32 月生产能力(吨) 20 30 40 下月设备需求量(吨) 20
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解：本题可用图2—16所示的网络图描述。
网络图左边的节点表示三个分厂，右边的节点表示四个用户，左、右节点间的连线表示从左边某分厂生产的设备运输到右边某用户，线段上的数字表示单位设备的运输成本。网络图最左边的数字分别为三个分厂的生产能力，最右边的四个数字分别为四个用户的需求量。
总供应量：20十30十40＝90(台)； 总需求量：20十15十23＋32＝90(台)。
即所有供应点的供应量之和等于所有需求点的需求量之和。所以本问题是供需均衡的运输问题。这时，所有供应点的供应量全部供应完毕，而所有需求点的需求量全部满足。
据题意，本问题的决策变量是下月各分厂为各用户生产与运输的设备数量。 可设分厂A下月为四个用户生产和运输的设备数量分别为：
A1,A2,A3,A4(台)；
图2—16 网络图
分厂B下月为四个用户生产和运输的设备数量分别为:B1，B2，B3，B4(台)； 分厂C下月为四个用户生产和运输的设备数量分别为:C1，C2，C3，C4(台)。 本问题的目标函数是总运输成本最小化。 总运输成本的计算公式如下：
总运输成本＝∑(各分厂至各用户的设备运输成本)X(各分厂至各用户的运输量) 因此，该问题的目标函数为：
o.b min 70Al+40A2+80A3+60A4+70Bl+100B2+110B3+50B4+80C1+70C2+130C3+40C4 本问题的约束条件有两个部分，第一部分是需求约束，即各用户从各分厂收到的设备总数不得少于它们的需求量：
A1+Bl+C1＝20 (用户1从三个分厂收到的设备总数应等于其需求量) A2+B2+C2＝15 (用户2从三个分厂收到的设备总数应等于其需求量) A3+B3+C3＝23 (用户3从三个分厂收到的设备总数应等于其需求量) A4+B4+C4＝32 (用户4从三个分厂收到的设备总数应等于其需求量) 第二部分是生产能力约束，即各分厂生产和运输的设备总数不得超过其生产能力：
A1+A2+A3+A4＝20 (分厂A下月生产与运输的设备总数应等于其月生产能力) B1+B2+B3+B4＝30 (分厂B下月生产与运输的设备总数应等于其月生产能力) C1+C2+C3+C4＝40 (分厂C下月生产与运输的设备总数应等于其月生产能力)
最后还有非负约束，即：
A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4≥0 (非负约束)
综上所述，本问题的线性规划模型如下：
o.b min 70Al+40A2+80A3+60A4+70Bl+100B2+
110B3+50B4+80C1+70C2+130C3+40C4
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