力学基础 第三章 刚体力学
第三章 刚体力学
§ 3—1 刚体的定轴转动
在上述两章中，我们介绍了质点运动的一些重要规律，现在简单地介绍具有一定形状和大小的物体的运动规律．当研究物体的运动不能忽略物体的大小和形状时，质点模型就不适用了。这时，可以把物体看作是由若干质点组成的质点系。当这种质点系受到外力的作用时，有的形状和大小随着运动状态的改变而作明显的改变（例如流体和弹性体），有的形状和大小实际上只有微小的变化，例如大多数固体。当固体在运动中其形状和大小的相对改变可以作为次要因素忽略不计时，可以把固体看作是由若干彼此维持固定距离的质点组成，这种理想模型就是刚体．刚体无论在多大的外力作用下，其形状和大小都保持不变，或者说，刚体在任何情况下，刚体内任意两个质点之间的距离保持不变．例如研究地球的自转或飞轮的转动时，我们即可把地球、飞轮看成刚体．刚体也是常用的力学模型．
刚体的最简单的运动是平动和转动．当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动称为平动（图3—1a）．例如升降机的运动，汽缸中活塞的运动，刨床上刨刀的运动等等都是平动．显然，刚体平动时，在任意一段时间内，刚体中所有质点的位移都是相等的，而且在任何时刻，各个质点的速度、加速度也都是相同的．所以刚体内任何一一点的运动就可代表整个刚体的运动．
图3—1a 图3—1b
图3—1 平动和转动
刚体运动时，如果刚体中的各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为转动（图3—1b），这一直线称为转轴．例如机器上齿轮的运动，钟摆的运动，地球的自转运动等等都是转动．如果转轴是固定不动的，就称为定轴转动．在本章中，我们主要研究刚体的定轴转动．关于刚体的一般运动规律，将在理论力学课程中讲述，这里不作讨论．
研究刚体绕定轴转动时，通常取任一垂直于 定轴的平面作为转动平面．如图所示，O为转轴与某一转动平面的交点，P为刚体上的一个质点，P在这一转动平面内绕O点作圆周运动，具有一定的角位移、角速度和角加速度。显然，刚体中任何其他质点也都在各自的转动平面内作圆周运动，而且都具有与P点相等的角位移、角
速度和角加速度．运动学中讨论过的角位移、角 图3—2 转动平面 速度和角加速度等概念以及有关的公式，都可适用于刚体的定轴转动．至于刚体内各个质点的位移、速度和加速度，则由于各质点离开转轴的距离和方位有所不同，所以也是各不相同的．转动中的角位移、角速度和角加速度等角量，与质点的位移、速度和加速度等线量之间
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的关系，我们在讲述圆周运动时已作过介绍，这里不重复讨论．
刚体的一般运动比较复杂．但可以证明，刚体的一般运动可看作是平动和转动的叠加．例如，一个车轮的滚动，可以分解为车轮随着轴承的平动和整个车轮绕轴承的转动．又如，在拧紧或松开螺帽时，螺帽同时作沿轴线方向的平动和绕轴线的转动．
角速度矢量 为了充分反映刚体转动的情况，常用矢量来表示角速度．角速度矢量是这样规定的：在转轴上画一有向线段，使其长度按一定比例代表角速度的大小，它的方向与
图3—3 角速度矢量的方向按右手螺旋定则规定 图3—4 线速度和角速度之间的矢量关系刚体转动方向之间的关系按右手螺旋定则来确定，这就是使右手螺旋转动的方向和刚
体转动 的方向相一致，则螺旋前进的方向，便是角速度矢量的正方向，如图3—3所示．
在转轴上确定了角速度矢量之后，则刚体上任一质点P（离转轴的距离OP为r，相应的矢径OP为r）的线速度?和角速度?之间的关系式为（参看图3—4）
????r （3—1） 这样，采用两矢量的矢积表示式，可同时表述角速度和线速度之间的方向上和量值上的关系．
????????d????在定轴转动中，角加速度矢量?按式??定义．当刚体转动加快时，?和?方向
dt??相同，当刚体转动减慢时，?与?方向相反．
§ 3—2 转动动能 转动惯量
本节先计算刚体以角速度?绕定轴转动时的转动动能，然后再引人转动中一个重要的
概念，即转动惯量．
刚体可以看成是由许多质点所组成的．设各质点的质量分别为?m1、?m2、…，各质点与转轴的距离分别为r1、r2…．当刚体绕定轴转动时，各质点的角速度?相等，但线速度各不相同．设其中第i个质点的线速度为vi，其大小为?i?ri?，则相应的动能为
???11?mi?i2??miri2?2 22整个刚体的动能是所有各质点的动能之和，即
2?m1?12?m2?2?m1r12?2?m2r22?2Ek????????
2222
?miri2?2??291
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?2 因对各质点都相同，可从累加号内提出，所以刚体转动动能为
2 Ek?(??mr2ii)?22 （3一2）
上式括号内的最常用I来表示，叫做刚体对给定转轴的转动惯量，因此上式可写作
Ek?转动惯量I的定义式为
I?r1?m1?r2?m2???2212I? （3—2a） 2?r2i?mi （3—3）
也就是说，转动惯量I等于刚体中每个质点的质量与这一质点到转轴的距离的平方的乘积的总和，而与质点的运动速度无关．将式（3—3a）与平动中的动能公式相比较，可知转动惯量相当于平动时的质量，是物体在转动中惯性大小的量度．
一般物体的质量可以认为是连续分布的，这时，上式（3—3）应写成积分形式
22 I?rdm?r?dV （3一3a）
??式中dV表示相应于dm的体积元，?表示体积元处的密度，r是体积元与转轴之间的距离．
在国际单位制中，转动惯量的单位是千克?米2（代号kg?m），转动惯量的量纲为
2ML2．
从式（3—3）或式（3—3a）可以看出，刚体的转动惯量决定于刚体各部分的质量对给定转轴的分布情况．具体地说，刚体的转动惯量与下列因素有关．第一，与刚体的质量有关．第二，在质量一定的情况下，还与质量的分布有关，亦即与刚体的形状、大小和各部分的密度有关．例如，同质料的质量相等的空心圆柱和实心圆柱，对于圆柱的轴来说，前者的转动惯量较大．又例如质量和半径都相等的两个圆盘，一个中间密度大而边缘密度小，另一个中间密度小而边缘密度大，对于通过圆心并与圆面垂直的转轴来说，后者的转动惯量较人．第三，转动惯量与转轴的位置有关．例如同一均匀细长棒，对于通过棒的中心并与棒垂直的转轴和通过棒的一端并与棒垂直的另一转轴，转动惯量是不相同的，后者较大．所以只有指出刚体对某一转轴的转动惯量才有明确意义．
物体的总质量为m???mi．物体对转轴的转动惯量为I??r2i?mi．通常把I记
2作I?mrG，式中的rG称为物体对该转轴的回转半径．这就是从该物体对该转轴的旋转效
应来看，物体的质量好象集中在离轴距离为rG的一个圆周上．
几何形状简单的、密度均匀的几种物体对不同转轴的转动惯量如表3—1所示．
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表3—1 刚体的转动惯量
图 3—5
关于转动惯量的平行轴定理和垂直轴定理。这两条定理反映了刚体绕不同轴的转动惯量之间的关系，它们将有助于我们计算转动惯量。
平行轴定理 图3—5表示通过刚体质心C而垂直于平行轴的一个刚体截面，平行轴于
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此截面相交于A点。可以证明，把同一刚体对过质心的轴的转动惯量Ic与对于另一个平行轴的转动惯量I联系起来的公式是
I?Ic?md2 （3—4）
d为这两轴的距离 。
垂直轴定理 如图3—6所示 ，已知一块薄板绕位于板上两相互垂直的轴（设为x轴和
y轴）的转动惯量为Ix和Iy，则薄板绕z轴的转动惯量
Iz?Ix?Iy （3—5）
此即垂直轴定理。
圆盘绕通过中心且垂直于盘面的转动惯量为的转动惯量为
1mR2，由垂直轴定理知，圆盘绕其直径21mR2。 4
图 3—6
表3—1 所列的都是对质心轴的转动惯量。运用式（3—4）就可求出对于平行轴的转动惯量。例如对细长直棒的端垂轴的转动惯量为
11?l?I?Ic?md?ml2?m???ml2123?2?22
例题3一1 求质量为m、长为l的均匀细棒对下面（1）、（2）和（3）所给定的转轴的转
动惯量．
（1）转轴通过棒的中心并与棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并与棒垂直；
（3）转轴通过棒上离中心为h的一点并与棒垂直．
图3—7 例题3—1用图
解 在细棒上任取一长度元dx，离转轴距离为x（图3一7），质量为dm??dx，其中
?为细棒的质量线密度．根据转动惯量定义I??r2dm得
（1）当转轴通过中心并与棒垂直时
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