力学基础 第三章 刚体力学
1m1(2m2?m)g2而 T1?m1(g?a)? 1m1?m2?m21m2(2m1?m)g?2 T2?m2(g?a)?1m1?m2?m2??a?r(m2?m1)g 1(m1?m2?m)r2例题3—4 如图3—12所示，质量均为m的两物体A、B。A放在倾角为?的光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连。定滑轮是半径为R的圆盘，其质量也为m。物体 运动时，绳与滑轮无相对运动。求绳中张力T1和T2及物体的加速度a（轮轴光滑）
图3—12 例题3—4 用图
解 物体A,B，定滑轮受力图见图3—12。对于作平动的刚体A,B，分别由牛顿定律得
T1??mgsin??maA （1） mg?T2??maB （2）
又 T1??T1,T2??T2 （3） 对定滑轮，由转动定理得
T2R?T1R?I? （4） 由于绳子不可伸长，所以
aA?aB?R? （5） I?联立式（1），（2），（3），（4）,(5)得
1mR2 22?3sin?mg 53?2sin?mg T2?5 T1?
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aA?aB?
2(1?sin?)g
5§ 3—4 力矩的功 刚体定轴转动中的动能定理
当刚体受外力矩的作用而绕固定转轴加速转动时，刚体的转动动能增加，这是由于外力矩对刚体作功的结果．在本节中，我们要研究两者之间量值上的关系．下面，我们先说明力矩的功．
力矩的功 设刚体在几个外力的作用下，在dt时间内绕固定转轴O转过一极小的角位
??移d?，这时，某质点P的位移为ds，ds?rd?（图3—13）．设质点P处所受的外力为F、
?????内力为f（图中未画出f）．因位移ds与OP垂直，F与ds所成的夹角为?，按功的定
义，力F在这段位移中所作的功是
?dA?Fcos?ds?Frcos?d?
因????900，所以cos??sin?，按式（3—6a），上
式可写成
dA?Md? （3—8） 式中M是力F的力矩．式（3—7）表明力矩所作的微功等于力矩M和角位移d?的乘积．
当刚体在恒力矩M作用下转过?角时，力矩所作的功为
A?M? 图3—13 力矩的功
而变力矩所作的功为
A?Md? （3—8a）
??同理，内力f的力矩所作的功也可写成式（3—8）的形式．换句话说，式（3—8）和
式（3—8a）是计算力矩的功的通式，M可以代表某一个力的力矩，也可代表某几个力的合力矩．
由式（3一8）可以求得力矩M的功率
N?dAd??M?M? （3一9） dtdt当力矩与角速度同方向时，力矩的功和功率为正值；当力矩与角速度相反方向时，力矩的功
和功率为负值，这时的力矩常称为阻力矩．
对一个绕固定轴转动的刚体来说，要考虑刚体上所有外力和所有内力的总功．所有外力的功的总和可表示为合外力矩的功，所有内力的功的总和也可表示为内力矩的功的总和．由于任一对内力（比如说质点?mi和?mj之间的内力）大小相等、方向相反且在同一直线上，这一对内力力矩的代数和为零，这一对内力力矩的总功也为零，所以定轴转动刚体上所有内力矩的总功也必为零．这样，我们只要考虑定轴刚体上合外力矩的功．
刚体定轴转动中的动能定理 如上所说，对于定轴转动的刚体，只要考虑合外力矩对
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它所作的功．事实上，从转动定律M?I?出发，因??d?d?d?d????，我们有 dtd?dtd?M?I??于是有
d? d?122 Md??I?d??d(I?) （3—10） 当刚体的角速度从t1时刻的?1改变为t2时刻的?2时，在这个过程中，将式（3—10）两边进行积分后，得
A?Md??t1?t2????2111212d(I?2)?I?2?I?1 （3一10a）222式(3一10)和式(3－10a)表明：合外力矩对定轴刚体所作的功等于刚体转动动能的增量．这
一关系称为刚体定轴转动中的动能定理．
可注意到，上面我们从转动定律直接推出定轴刚体的动能定理，并未涉及刚体上的内力和内力矩．这一事实也正说明定轴刚体上所有内力的总功是等于零的．对于一个绕轴转动的非刚体来说，这一结论并不适用；这时，内力的功（或内力矩的功）的总和并非一定为零，有关情况仍需应用上章中质点系的功和动能的关系式进行分析．这里就不再赘述．
例题3—5一根质量为m、长为l的均匀细棒AB（图3—14），可绕一水平的光滑转轴
lO在竖直平面内转动，O轴离A端的距离为．今使棒从静止开始由水平位置绕O轴转动，
3求：
（1）棒在水平位置上刚起动时的角加速度； （2）棒转到竖直位置时的角速度和角加速度；
（3）棒在竖直位置时，棒的两端和中点的速度和加速度．
解 先确定细棒AB对O轴的转动惯量I0．参看例题3一1（3）中计算细棒转动惯量的答案，令h?l，可算出 6I0?1l1ml2?m()2?ml2 1269?AB再对细棒所受的力作一分析：重力P，作用在棒的中点C（重心），方向竖直向下；
轴与棒之间没有摩擦力，轴对棒作用的支承力N垂直于棒与轴的接触面而且通过O点，在棒的转动过程中，这力的方向和大小将是随时改变的．在棒的转动过程中，对转轴O而言，
???支承力N通过O点，所以支承力对轴的力矩等于零．重力P的力矩则是变力矩，大小等于
mglcos?，其中的?是棒的B端从水平位置下转的角度． 6 102
力学基础 第三章 刚体力学
图3—14 例题3—5 用图
（1）当棒在水平位置上刚起动时，所受重力力矩M?mg度
l，按转动定律算得角加速6lM6?3g ???I0122lml9（2）当棒转过一极小的角位移d?时，重力知所作的微功是
ldA?mgcos?d?
6mg在棒从水平位置转到竖直位置的过程中，重力矩所作的总功
lmglA??dA??2mgcos?d??
066棒在水平位置时的角速度?0?0，转到竖直位置时角速度为?，按定轴转动刚体的动能定理，应有
?mgl1?I0?2 62由此算得
??mgl?3I0mgl3g ?12l3ml9在竖在位置时，细棒所受重力矩为零，此时瞬时角加速度为零．
（3）棒在竖直位置时，棒的两端A、B和中点C的速度、加速度计算如下：
?c??rC?3lgl3g （方向向左） ?6l63lgl3g （方向向右） ?A??rA??3l3?B??rB?2l3g23lg （方向向左） ?3l3 103
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ac??rc?2l3gg? （方向向上，指向O点） 6l2 aA??2rA?g （方向向下，指向O点） aB??2rB?2g （方向向上，指向O点）
例题3—6 长为l的均匀细棒，绕过其一端O并与杆垂直的水平轴转动。设杆从水平位
置由静止释放，求杆与水平线成?角时，杆的质心速度。设转轴光滑。
解 [解法一]应用刚体定轴转动的动能定理
以杆为研究对象，它受到重力mg和转轴的作用力N。由于转轴光滑，N不作功，所以只有mg作功。当杆从水平位置落至题设的位置时，重力作功为
A?mg在此期间，杆的动能的增量
lsin? 212I??0 图3—15 例题3—6 用图 2Ek?Ek0?
由动能定理
将I?12mgI??lsin? 2212ml代入，得 3??质心的速度为 ?c?3gsin? ll1??3glsin? 22[解法二]应用刚体定轴转动的机械能守恒定律
以杆和地球为一系统由于轴光滑，使作用与杆的外力N1不作功，而地球和杆的相互作用力为保守内力，所以杆的机械能守恒。选择水平位置为杆的势能零点，开始时
E0?0
12lI??mgsin? 2212l所以 I??mgsin??0
22至杆与水平线夹角为?时，E???3g1sin?,?c?3glsin? l2§ 3—5 动量矩和冲量矩 动量矩守恒定律
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