力学基础 第三章 刚体力学
与冲量相似，我们用冲量矩表示力矩在时间过程中的累积效应．冲量矩等于力矩乘以力矩所作用的时间．
???d?刚体作定轴转动时，根据转动定律M?I??I，可得
dt???d(I?)dL? M? （3—11） dtdt??和 Mdt?d(I?) （3—12）
在以上两式中，因为刚体对于某一定轴的转动惯量是一恒量，所以可将Id?写成d(I?)，即量I?的增量，L?I?，称为物体对转轴的动量矩．式（3—11）表明：物体对某给定轴的动量矩的时间变化率等于物体所受到的对该轴的合外力矩．这是用动量矩陈述的转动定律．当刚体的角速度从t1时刻的?1改变为t2时刻的?2时，在这个过程中，将式（3—12）两边进行积分后，得
????????t2t1??2??? Mdt??d(I?)?I?2?I?1 （3—12a）
?1t1???t2?MMdt是合外力矩M在dt时间内的冲量矩，是合外力矩在t2?t1这段时间内的冲?Mdt量矩，所以式（3—12）和式（3—12a）表明：转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段
时间内转动物体动量矩的增量，这一关系叫做动量矩定理．动量矩也叫做角动量． 这一关系也叫角动量定理．
在国际单位制中，冲量矩的单位是米·牛顿·秒（符号m?N?s），动量矩的单位是
2?1千克·米2·秒?1（符号kg?m2?s?1），冲量矩和动量矩的量纲相同，都是MLT．
导出上述公式时，我们曾假定物体的转动惯量保持不变．在实际中，某些物体（例如非刚体）在运动时，虽然转动惯量可以发生变化，但是，式（3—11）仍然成立，动量矩定理也仍然是正确的．在这种情况下，可写成
?t2t1????Mdt?M?t?I2?2?I1?1 （3一13）
?式中I1和?1分别表示物体在开始时刻t1的转动惯量和角速度，I2和?2分别表示物体在终
???了时刻t2的转动惯量和角速度，?t?t2?t1是力矩M的作用时间，M表示力矩在这段时
间内的平均量．
如果物体所受的合外力矩M恒等于零，那末根据式（3—10）得
???dLd(I?)??0 dtdt 105
力学基础 第三章 刚体力学
??所以 L?I??恒矢量 （3—14）
?亦即当物体所受的合外力矩等于零时，物体的动量矩I?保持不变．这一结论就是动量矩守
恒定律，也叫做角动量守恒定律．
因为物体的动量矩等于物体的转动惯量和角速度的乘积，所以动量矩保持不变的情况可能有两种，一种是转动惯量和角速度均保持不变；另一种是转动惯量和角速度同时改变，但乘积保持不变．例如，一个正在转动的飞轮，当所受的摩擦阻力矩可以忽略时，就近似于前一种情况．
（a） (b)
图3—16 动量矩守恒定律的演示实验
动量矩守恒定律的后一种情况可用下述方法进行演示．设有一人坐在凳子上，凳子能绕 竖直轴转动（转动中的摩擦忽略不计）．人的两手各握一个很重的哑铃，当他平举两臂时，在别人的帮助下，使人和凳一起以一定的角速度转动起来（图3—16a），然后，此人在转动中放下两臂．由于这时没有外力矩作用，凳和人的动量矩保持不变，所以当人放下两臂后，转动惯量减少，结果角速度要增大，也就是说比平举两臂时要转得快一些（图3—16b）．
在日常生活中，利用动量矩守恒定律的例子也是很多的．例如舞蹈演员、溜冰运动员等，在旋转的时候，往往先把两臂张开旋转，然后迅速把两臂收回靠拢身体，使自己的转动惯量迅速减少，因而旋转速度加快．
动量矩守恒定律，与前面介绍的动量守恒定律和能量守恒定律一样，是自然界中的普遍规律．我们以后会看到，即使在原子内部，也都很严格地遵守着这三条定律．
现在将平动和转动的一些重要公式列表对照（表3—2），以资参考．
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表 3—2
例题3—7 一根质量为m，长为2l的均匀细棒，可以在竖直平面内绕通过其中心的水平轴转动．开始时细棒在水平位置（图3—17）．一质量为m?的小球，以速度u垂直落到棒的端点．设小球与棒作完全弹性碰撞．求碰撞后，小球的回跳速度以及棒的角速度各等于多少？
图 3—17 小球和细棒的碰撞
解 令?表示碰撞后小球的速度，?表示棒的角速度．对小球来说，应用动量定理，可写出
?fdt?m???(?m?u)?m?(??u) （向上为正） （1）
积分式表示细棒给予小球的冲量．
对于细棒，应用动量矩定理，可写出
??l?fdt??I? （2） ?Mdt??lfdt这里积分式表示小球给予细棒的冲量矩．f?为f的反作用力，l为定长，可以移出积分号
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外．
因f??f，可将式（l）和式（2）合并，得
m?(??u)l?I? （3） 又因小球与细棒的碰撞是弹性的，遵从机械能守恒定律，即有
111m?u2?m??2?I?2 （4） 22212上式左边表示小球在碰撞前的动能，右边表示碰撞后小球和细棒的动能之和．以I?ml3 代入（3）、（4）两式，即可解得
u(m?3m?)6m?u??，??
(m?3m?)(m?3m?)l式（3）可改写为
m?ul?I??m??l （5） 或 (m?l)22u??I??(m?l2) llu（顺时针方向），l小球对于转轴O的转动惯量为m?l．小球对转轴O的角速度，碰撞前为碰撞后为矩守恒
?（逆时针方向）．由此可知，式（5）说明对转轴O而言，小球和细棒的总动量l
图3—18 例题3—8 用图
例题3—8 质量为M、半径为R的转台，可绕通过中心的竖直轴转动（图3—18）．设阻力可以忽略不计．质量为m的一人，站在台的边缘，人和台原来都静止．如果人沿台的边缘奔跑一周，问相对于地面来说，人和转台各转了多少角度？
解 如果以人和转台为一系统，该系统未受到外力矩的作用，因此动量矩守恒．已知开始时系统的动量矩等于零，应用动量矩守恒定律，可写出
I??I????0
式中I和I?分别表示转台和人对转台中心轴的转动惯量，?和??分别表示相应的角速度（相对于地面而言，并预先说明角速度方向相反）．转台的转动惯量为惯量等于mR．上式可改写为
21MR2，而人的转动212mMR2??mR2???0，???? 2M
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人相对于转台的角速度为
???????人在台上奔跑一周所需的时间为
M?2m?? Mt?所以人相对于地面所绕行的角度为
2?2?M ??(M?2m)??转台所转过的角度为
显然，???应等于2?．
????t?2?MM?2m
???t?2m4M??t??mM?2m
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