力学基础 第三章 刚体力学
I??将棒的质量线密度??l2l?2l132l3x?dx?x?|l??
?31222m代入，即得 ll3m1I??ml2
12l12（2）当转轴通过棒的一端并与棒垂直时，
l11I??x2?dx?l3??ml2
033（3）当转轴通过棒上离中心为h的一点并与棒垂直时
I??l?h2l??h2x2?dx?lml2?mh2 12由此可以看出，同一均匀细棒，如果转轴的位置不同，转动惯量也不相同．
例题3—2 求质量为m、半径为a的细圆环或圆盘绕通过中心并与圆面垂直的转轴的转动惯量．
图3—8 例题3—2用图
解 （1）细圆环的质量可以认为全部分布在半径为a的圆周上．即在距中心小于或大于a的各处，质量均为零．所以转动惯量为
I??a2?mi?a2??mi?ma2
（2）对圆盘来说，质量均匀分布在半径为a的整个圆面上．在离转轴的距离为r至
r?dr处取一小环，面积为dS?2??rdr，质量为dm??dS，其中?为圆盘的质量面密
度，则小环的转动惯量为dI?rdm?2???rdr，而整个圆盘的转动惯量为
23I??dI??r2dm?2???r3dr?00ma?2?a4
质量面密度??m2，代人上式得 ?aI?1ma2 295
力学基础 第三章 刚体力学
由此可以看出两个质量相等，形状相同，转轴位置也相同的刚体，由于质量分布情况不同，两个刚体的转动惯量也不相同．
§ 3—3 力矩 转动定律
力矩 一个具有固定轴的静止物体，在外力作用下可能发生转动，也可能不发生转动．由事实可知，物体的转动与否不仅与力的大小有关，而且与力的作用点以及作用力的方向有关．例如，当我们开关门窗时，如果作用力与转轴平行或通过转轴，那末不论用多大的力也不能把门窗打开或关上．因此，在转动中必须研究力矩的作用．
设刚体所受外力f在垂直于转轴O的平面内（图3—9a），力的作用线和转轴之间的垂直距离为d，d称为这力对转轴的力臂，力的大小与力臂的乘积称为这力对转轴的力矩．用M表示力矩， 即
M?fd （3—6） 这是力矩的定义式
设力f的作用点是P，作用点离开转轴的垂直距离是r（相应的矢径是r）．从图3—9a中可以看出：d?rsin?，?是力与矢径r之间的夹角，所以上式也可写成
M?frsin? （3—6a）
????（a）外力在垂直于转轴的平面内 (b) 外力在不垂直于转轴的平面内
图3—9 力矩
力矩是矢量，在定轴转动中，力矩的方向是沿着转轴的，指向是按右手螺旋定则规定的，即由矢径的方向（经过小于180的角度）转到力的方向时右手螺旋的前进方向．根据力矩的大小和如上规定的方向，力矩可用矢径r和力f的矢积表示：
?????? M?r?f （3—6b）
如果外力不在垂直于转轴的平面内，那就必须把外力分成两个分力，一个是与转轴平行的分力，另一个是在转动平面内的分力（图3—9b）．只有在转动平面内的分力能使物体
?f转动．因此，在上述力矩定义式（3—6）、式（3—6a）和式（3—6b）中，和f应理解
为外力在它作用点的转动平面内的分力．
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在国际单位制中，力矩的单位为米·牛顿（代号m?N）．力矩的量纲是MLT2?2．
在定轴转动中，如果有几个外力同时作用在刚体上时，它们的作用将相当于某单个力矩的作用，这个力矩称为这些力的合力矩．实验指出，合力矩的量值等于这几个力各自的力矩的代数和．
转动定律 实验指出，一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩（对该轴而言）等于零时，它将保持原有的角速度不变（原来静止的继续静止，原在转动的则作匀角速转动）．这就是转动刚体的第一定律，它反映了任何转动的物体都具有转动惯性．可注意到，这一定律在转动中的地位和牛顿第一定律在平动中的地位相当．
实验还指出，一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩（对该轴而言）不等于零时，它将获得角加速度，角加速度的方向与合外力矩的方向相同；角加速度?的量值和它所受的合外力矩M的量值成正比，并与它的转动惯量成反比（这里M、I、?都是对同一转轴而言），即
??M或M?kI? I当M、I、?均用国际单位制的单位时，比例系数k?1，于是
M?I? （3—7） 这一关系就是转动刚体的第二定律．显然，这个定律在转动中的地位和牛顿第二定律在平动中的地位也恰相当，将M?I?和f?ma两相比较，可知式中的转动惯量I和质量m相当．它是反映转动惯性大小（给定刚体对给定转轴而言）的物理量．
综上所述，转动定律M?I?，是表述刚体转动规律的基本方程． 用矢量式表示时，转动定律可写作 M?I??Id? （3—7a） dt 转动定律的推导 在力学理论中，刚体运动的规律可以在质点运动的最基本规律—--牛顿运动定律的基础上演绎推导出来。也就是说，两者之间有极其深刻的内在联系．下面，我们说明如何推证转动定律．
图3—10 推到转动定律用图
图3—10表示一个绕固定轴OZ转动的刚体，其中P点表示刚体中的某一质点，质量为
?．设刚体绕轴转动的角速度和角加速度分?mi．P点离转轴的距离为ri（相应的矢径为ri）
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力学基础 第三章 刚体力学
???别为?和?，此时质点P所受的外力和内力分别为Fi和fi，这里fi表示刚体中所有其他
质点对P作用的合内力．为使讨论简化起见，我们假设Fi和fi都在P点的转动平面内（它们与矢径ri的交角分别为?i和?i）．根据牛顿第二运动定律，
?????? Fi?fi?(?mi)ai （1）
式中的ai是质点P点的加速度．质点P绕转轴作圆周运动，把力和加速度都沿径向和切向分解，可写出径向和切向分量的方程如下：
??(Ficos?i?ficos?i)?(?mi)ain?(?mi)ri?2 （2）
Fisin?i?fisin?i?(?mi)ait?(?mi)ri? （3）
式中ain?ri?2和ait?ri?分别是质点P的向心加速度和切向加速度．式（2）左边表示质点P所受的向心力，式（3）左边表示质点P所受的切向力．向心力的作用线是通过转轴的， 其力矩为零，我们不予考虑．在式（3）的两边各乘以ri，我们得到
Firisin?i?firisin?i?(?mi)ri2? （4）
??式（4）左边的第一项是外力Fi对转轴的力矩，第二项是内力fi对转轴的力矩．
同理，对刚体中全部质点都可写出和式（4）相当的方程．把这些式子全部相加，则有：
?Frsin???frsin?iiiiiiii?(?ri2?mi)? （5）
因为内力中的任一对（比如说质点?mi和?mj之间）作用力和反作用力的力矩相加为零，所以式（5）左边表示所有内力力矩总和的项左边只剩下第一项
?frsin?也应等于零．这样，式（5）
iiii?frsin?，按定义，它是刚体所受全部外力对转轴OZ的力矩的总和，
iiii也就是合外力矩．用M表示合外力矩，I(??r2i?mi)表示转动惯量，则式（5）可写成
M?Iβ
以上，我们从牛顿第二定律和第三定律出发导出了转动定律．
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力学基础 第三章 刚体力学
图3—11例题3—3 用图
例题3—3 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质最为m1和m2的物体，m1?m2，如图3—11所示．设滑轮的质量为m，半径为r，其转动惯量可按I?计算（滑轮视为圆盘）．绳与轮之间无相对滑动．试求物体的加速度和绳的张力．
解 按题意，滑轮具有一定的转动惯量．在转动中，两边绳子的张力不再相等．设m1这边的张力为T1、T1（T1?T1），m2这边的张力为T2、T2(T2?T2)．因m2?m1，m1向上运动，m2向下运动，而滑轮顺时针旋转．按牛顿运动定律和转动定律可列出下列方程：
12mr2????T1?P1?m1a P2?T2?m2a
??T2r?T2r?I?
式中?是滑轮的角加速度，a是物体的加速度，P1?m1g，P2?m2g
因为绳与轮之间无相对滑动，因此，滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即
a?r?
从以上各式即可解得
a?(m2?m1)g(m2?m1)g? I1m1?m2?2m1?m2?m2r 99