湖南大学《随机过程》课程习题集汇总

湖南大学本科课程《随机过程》习题集

主讲教师：何松华 教授

第一章：概述及概率论复习

1.1 设一批产品共50个，其中45个合格，5个为次品，从这一批产品中任意抽取3个，

求其中有次品的概率。

1.2 设一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再

放回，求第3次才取得合格品的概率。

1.3 设一袋中有N个球，其中有M个红球，甲、乙两人先后各从袋中取出一个球，求

乙取得红球的概率(甲取出的球不放回)。

1.4 设一批产品有N个，其中有M个次品，每次从其中任取一个来检查，取出后再放

回，求连续n次取得合格品的概率。 1.5设随机变量X的概率分布函数为连续的，且

?A?Be??xF(x)??0?其中??0为常数，求常数A、B的值。 1.6设随机变量X的分布函数为

x?0x?0

F(x)?A?Barctg(x) (-?

(1) 求系数A、B；(2)求随机变量落在(-1,1)内的概率；(3)求其概率密度函数。 1.7已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度分布函数为

?6xy(2?x?y)0?x,y?1 fXY(x,y)??0elsewhere?(1)求条件概率密度函数fX|Y(x|y)、fY|X(y|x)；(2)问X、Y是否相互独立？ 1.8已知随机变量X的概率密度分布函数为

(x?mX)2fX(x)?exp[?] 22?X2??X1随机变量Y与X的关系为 Y=cX+b，其中c，b为常数。求Y的概率密度分布函数。 1.9设X、Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分布函数分别为

?e?y?10?x?1，fY(y)??fX(x)???0elsewhere?0求随机变量Z=X+Y的概率密度分布函数。

0?yelsewhere

1.10设随机变量Y与X的关系为对数关系，Y=ln(X)，随机变量Y服从均值为mY、标

准差为?Y的正态分布，求X的概率密度分布。

1x21.11随机变量X服从标准正态分布fX(x)?求随机变量Y?Xn(n为正整exp{?}，

22?数)的数学期望及方差。

1.12随机变量X服从均值为mX、标准差为?X的正态分布，X通过双向平方率检波器，

Y=cX2(c>0)，求Y的概率密度分布。 1.13设二维随机变量的联合概率密度分布函数为

fXY(x,y)?Asin(x?y) (0?x??2,0?y??2)

(1) 求系数A，(2)求数学期望E[X]、E[Y]，方差D[X]、D[Y]；(3)求X、Y的相关函数

及相关系数。

1.14设X为拉谱拉斯随机变量，fX(x)??2e??|x| (-??x??) (??0)；求：(1)X的特征

函数，(2)利用特征函数求X的均值与方差，(3)讨论特征函数实部与虚部的奇偶性。

第二章：随机过程的基本概念

2.1某公共汽车站停放着两辆公共汽车A、B，从t=1s开始，每隔1s有一名乘客到达车

站。如果每名乘客以概率1/2登上A车，以概率1/2登上B车，各乘客登上哪辆车是相互独立的，用Xj表示第j秒到达的乘客的登车状态，即登上A车则Xj=1，登上B车则Xj=0；设t=n时A车上的乘客数为Yn。(1)求离散时间随机过程Yn的一维概率分布率；(2)当公共汽车A上的乘客达到10个时，A即开车，求A车出发时刻n的概率分布。

2.2一个正弦振荡器，由于元器件的热噪声和电路分布参数变化的影响，其输出的正弦

波可以看作一个随机过程X(t)?Acos(?t??)，其中A、?、?为相互独立的随机变量，且

?2a/A02fA(a)???0a?(0,A0)?1/100??(250,350)，f?(?)??，

0otherwiseotherwise??1/(2?)??(0,2?) f?(?)??otherwise?0求随机过程X(t)的一维概率密度分布函数。 2.3用一枚硬币掷1次的试验定义一个随机过程

?cos(?t)出现正面 X(t)??出现反面?2t设“出现正面”和“出现反面”的概率各为1/2。(1) 确定X(t)的一维分布函数FX(x,1/2)、FX(x,1)；(2) 确定X(t)的二维分布函数FX(x1, x2;1/2,1)；(3)画出上述分布函数的图形。 2.4设随机过程Z(t)?Xcos(?t)?Ysin(?t) (-??t??)，其中?>0为常数，X、Y为相互独立的随机变量，概率密度分布函数分别为标准正态分布(即均值为0，标准差为1)。若将Z(t)写成Z(t)?Vcos(?t??)，(1)求随机变量V、?的概率密度分布函数及联合概率密度分布函数，问二者是否统计独立？(2)求随机过程的一维概率密度分布函数。

2.5求4题所给出的随机过程的均值及相关函数，并判断该随机过程是否为广义平稳随机过程。

2.6设某信号源每T(s)产生一个幅度为A的方波脉冲，脉冲宽度X为均匀分布于[0,T]的随机变量。这样构成一个随机过程Y(t)(0?t

2.7设随机过程X(t)=Ycos(t) (-?

2.8随机过程Z(t)??Akej?kt (t?R)，其中Ak服从分布N(0,?k2)，且相互独立；?k为常数，

k?1Nj为虚数单位，求复随机过程Z(t)的均值函数与方差函数。

??12r?2.9随机过程X(t)=X+Yt，t?R；随机矢量(X,Y)的协方差矩阵为?，求随机过2?r??2?T程X(t)的协方差函数。

2.10给定随机变量X(ti)，xi为任一实数。定义另外一个随机过程

?1X(ti)?xi i?1,2,... Y(ti)???0X(ti)?xi试证明Y(t)的均值和自相关函数分别为X(t)的一维和二维分布函数。

2.11有一脉冲串，其中每个脉冲的宽度为1，脉冲可为正脉冲也可为负脉冲，即脉冲的幅度随机地取1或-1(概率相等)，各脉冲的幅度取值相互独立；脉冲串的起始时间均匀分布于单位时间内，脉冲间隔为0；求此脉冲随机过程的相关函数。

2.12．设随机过程X(t)=b+Nt，b为常量，N为正态随机变量，均值为m，标准差为?，求随机过程X(t)的一维概率密度及均值、方差。

2.13质点在直线上作随机游动，即质点在n=1,2,3,…时刻可以在x轴上往右或往左作一个单位距离的随机游动。往右、左移动的概率分别为p、q(p+q=1)，P{Xn=1}=p，P{Xn=-1}=q，各次游动是相互独立的，经过n次游动后，质点所在的相对位置为

Y(n)??Xi

i?1n求：(1)离散时间随机过程Y(n)的均值函数；(2) Y(n)的相关函数及自协方差函数。 2.14设随机过程X(t)=?+?t，?和?为相互独立的随机变量，其概率密度分布分别为f?(?)、

f?(?)，求随机过程X(t)的概率密度。

2.15设随机过程X(t)?A(t)sin[?0t??(t)]，其中A(t)?0，在同一时刻随机过程A(t)和?(t)是相互独立的，且?(t)在任意时刻的概率密度分布为[-?,?]上的均匀分布，包络A(t)在任意时刻的概率密度分布为fA(a)，求随机过程X(t)的一维概率密度。

2.16随机初始相位正弦波随机过程X(t)=Acos(?t+?)，其中振幅A、角频率?取常数，相

位?为均匀分布于[-?,?]的随机变量，求X(t)的一维概率密度分布函数。

2.17设某通信系统的信号为脉冲信号，脉宽为T，脉冲信号的周期也为T，脉冲幅度是随机的且服从高斯分布N(0,?2)，不同周期内的幅度xi是相互独立的；第1个脉冲的起始时间与t=0时刻的时间差u是均匀分布于(0,T)的随机变量，u与各xi相互独立，求该随机信号在任意两个不同时刻的二维联合概率密度分布函数。

2.18设随机过程X(t)的均值为mX(t)，协方差函数为KX(t1,t2)，?(t)为普通函数，试求随机过程Y(t)=X(t)+ ?(t)的均值和协方差函数。

2.19广义平稳随机过程X(t)在四个不同时刻的四维随机变量X=[X(t1), X(t2), X(t3), X(t4)]T的自相关矩阵为

?21.30.4a??b?21.20.8T? RX?E[XX]???0.41.2c1.1???e2??0.9d求矩阵中未知元素的值。

2.20设随机过程X(t)?Acos(?t)?Bsin(?t)，其中?为常数，A、B为相互独立的随机变量，概率密度分布函数为正态分布N(0,?2)。求X(t)的均值和自相关函数。

2.21某平稳随机过程X(t)的自相关函数满足RX(T)= RX(0) (T?0)，证明RX(?)必为以T为周期的周期函数。

2.22给定随机过程X(t)和常数a。Y(t)=X(t+a)-X(t)。试以X(t)的自相关函数来表示随机过程Y(t)的自相关函数。若X(t)平稳，均值为mX，求Y(t)的均值；问Y(t)是否平稳？是否与X(t)联合平稳？ 2.23．(缺)

2.24 X(t)=At，A为随机变量，概率密度分布为N(0,1)，求X(t)的均值及自相关函数。 2.25 X(t)=cos(?t)，其中?为均匀分布于(?1,?2)的随机变量，求X(t)的均值及自相关函数。 2.26随机初始相位正弦波随机过程X(t)=Acos(?t+?)，其中振幅A、角频率?取常数，相位?为均匀分布于[-?,?]的随机变量，求该随机过程的均值及相关函数，并判断其平稳性。 2.27随机过程X(t)仅由3个样本函数组成[查看教材中的原图]，而且每个样本函数等概率发生。计算E[X(2)]、E[X(6)]、RX(2,6)、FX(x,2)、FX(x,6)、FX(x1, x2,2，6)。分别画出它们的图形。

2.28设从t=0开始，作每秒1次的掷硬币试验，如正面朝上，则X(t)在该秒内的取值为1，如反面朝上，则X(t)在该秒内的取值为0；求：(1)X(t)的均值函数，(2)计算RX(0.5,0.6), RX(0.5,2.5)。

2.29随机初始相位正弦波随机过程X(t)=Acos(?t+?)，其中振幅A、角频率?取常数，相位?为均匀分布于[0,2?]的随机变量，求其时间相关函数及集合自相关函数，二者是否相等？

2.30根据掷色子实验定义随机过程X(t)?cos[(率密度，问X(t)是否为平稳随机过程。

2.31某随机过程由3个不同的样本函数组成，各样本函数等概率出现。

2k?)t]; k?1,2,3,4,5,6，求X(1),X(2)的概6