3.20如图所示系统，输入随机过程的功率谱密度函数为常数，GX(?)?法求输出随机过程Z(t)的均方值。
N0，试用频谱2
3.21零均值平稳随机过程X(t)加到一个线性滤波器，滤波器的冲激响应是指数函数的一段，即
?e??th(t)???00?t?Totherwiset
试用GX(?)来表示输出随机过程Y(t)的功率谱密度。 3.22设积分电路输入输出之间满足如下关系Y(t)??t?TX(?)d?，其中T为常数，且X(t)、
Y(t)均为平稳随机过程，求二者功率谱密度之间的关系。
3.23线性时不变系统的输入X(t)、输出Y(t)为平稳随机过程，系统传递函数为H(j?)，
*求证：GYX(?)?H(j?)GX(?)、GY(?)?H(j?)GYX(?)
3.24对于图示单输入、多输出线性时不变系统，求证：输出Y1(t)、Y2(t)的互功率谱密度
(?)?H1(j?)H2(j?)GX(?)。 为GYY12*H1(j?) X(t) H2(j?) Y1(t) Y2(t)
3.25设具有功率谱密度函数GX(?)?(??3)/(??8)的某平稳随机过程通过某线性系统后，输出随机过程的功率谱密度函数为GY(?)?1，求该系统的传递函数。 3.26已知平稳随机过程的相关函数为：(1) RX(?)??2(1??|?|) (|?|?1/?)；
22(2) RX(?)??2e??|?|；??0。分别求其等效通能带。(注：此题应放在第4章)
?1X(t)?x3.27给定实数x，定义理想门限系统的输入输出关系为Y(t)??，证明：(1)
?0X(t)?xE[Y(t)]?FX(x);(2) RY(?)?FX(x,x,?)。
第四章：白色噪声与正态随机过程
4.1 X1、X2、X3、X4是四元联合高斯分布随机变量，且E[X1]?E[X2]?E[X3]?E[X4]?0，
求证：E[X1X2X3X4]?E[X1X2]E[X3X4]?E[X1X3]E[X2X4]?E[X1X4]E[X2X3]。 4.2 X、Y是零均值高斯随机变量，方差分别为?X2、?Y2，若X、Y服从联合高斯分布，
且相关系数为r，求Z=X/Y的概率密度分布函数。 4.3 (接上题)证明以下关系成立：
1arcsin(r)? 42?1arcsin(r)P{X?0,Y?0}?P{X?0,Y?0}??
42?1arcsin(r)P{XY?0}??
2?1arcsin(r)P{XY?0}??
2?P{X?0,Y?0}?P{X?0,Y?0}?4.4设线性系统的冲激响应为h(t)，输入为平稳高斯过程X(t)，系统的输出过程为Y(t)，
证明X(t)与Y(t)为联合正态分布随机过程。
4.5设n维高斯分布随机矢量X?[X1,X2,...,Xn]T的各个分量的均值为零，协方差矩阵为
111??111...?22...?222???3...333?????????(其他未注明的元素根据对称性确定)
?n?2n?2n?2???n?1n?1???n???求X的一维与二维概率密度分布函数。
4.6功率谱密度函数为N0/2的高斯白色噪声通过一个滤波器，其传输函数为
H(j?)?11?j?/?1
求输出随机过程Y(t)在任意时刻的概率密度分布函数。
4.7白噪声的均值为0，功率谱密度为非零的常数N0，求其相关函数。
4.8理想白噪声通过截止频率为fc的理想低通滤波器(幅频特性为常数1)，求输出过程的自相关函数。
4.9设X、Y是相互统计独立的高斯随机变量，且它们具有相同的该密度N(m,?2)；求随机变量U=aX+bY和V=aX-bY的互相关系数以及U、V的二维联合概率密度。
4.10并联谐振电路如图所示，iN代表噪声电流，它是白噪声，其功率谱密度为N0，且为零均值，若t=0时电路开始工作，初始条件为iL(0-)=0，v(0-)=0；研究t时刻电流iL和iR的统计特性。
4.11设X、Y为联合高斯分布的随机变量，均值分别为mX、mY，根方差分别为?X、?Y，互相关系数为r，已现知X=x，求Y的合理估计值。
4.12一个高斯随机过程的均值函数为mX(t)?2、协方差函数为KX(t1,t2)?8cos[?(t1?t2)]，写出t1=0,t2=1/2时刻的二维概率密度。
4.13一个平稳高斯随机过程的均值函数为mX(t)?0、自相关函数为RX(?)?出t1=0,t2=1/2、t3=1时刻的三维概率密度。
4.14设随机过程Z(t)?Acos(?0t)?n(t)，其中A、?0为常量，n(t)为零均值平稳高斯过程，相关函数为RN(?)，写出Z(t)的一维、二维概率密度分布函数。
4.15考虑两个随机变量的去相关处理。设Y1、Y2为相关的零均值随机变量，方差分别为?12,?22，互相关系数为?，考察下列变换
sin(??)??，写
?X1??cos(?)sin(?)??Y1??X????sin(?)cos(?)??Y?
??2??2??求使得变换后的变量不相关的条件。
4.16图示RC低通滤波器的输入为白色噪声，物理功率谱密度为FX(?)=N0(0??t2>t1，有
RY(t3?t1)?RY(t3?t2)RY(t2?t1)
RY(0)
4.17 (与第3章第26题重复)。
4.18设有二维随机矢量[X1,X2]，其概率密度为
(x1?m1)22r(x1?m1)(x2?m2)(x2?m2)21fX(x1,x2)?exp{?[??]} 22222(1?r)?1?1?2?22?1?r?1?21在椭圆
(x1?m1)2?12上概率密度为常数
2r(x1?m1)(x2?m2)(x2?m2)22???? (?为常量) 2?1?2?212?1?r?1?22exp{??22(1?r)2}，称该椭圆为等概率椭圆，求随机矢量
落在等概率椭圆内的概率。
4.19设n维随机矢量X=[X1,X2,…,Xn]服从联合高斯分布，各个分量相互独立，且均值为0，随机矢量的协方差矩阵为
??2a?200...0???22?a?0...0??22??a?...0?
?????????2???求其N维特征函数
4.20 (接上题)若各个分量的之间的协方差为
Km,i?n?|m?i|
设另一随机变量Y为Y??Xi，求Y的特征函数
i?1n4.21设3维高斯随机矢量X=[X1,X2,X3]各个分量的均值为0，其协方差矩阵的元素值为kij(i,j=1,2,3),且
k11=k22=k33=?2；求(1) E[X1X2X3]，(2) E[X12X22X32]，(3)
E[(X12??2)(X22??2)(X32??2)]
4.22设3维高斯随机矢量X=[X1,X2,X3]的概率密度为
1fX(x1,x2,x3)?Cexp{?[2x12?x1x2?x22?2x1x3?x32]}
2(1) 证明经过线性变换
?1?1/4?1/2??X1???X? Y?AX??01?2/7???2??01??0???X3??得到的随机矢量Y=[Y1,Y2,Y3]，则Y1,Y2,Y3是相互统计独立的随机变量；(2)求C的值。 4.23设X1、X2是相互独立的零均值、单位方差高斯随机变量，定义二维随机矢量Y
?[X1,|X2|]X1?0 Y?[Y1,Y2]???[X1,?|X2|]X1?0证明：(1)Y1、Y2都是高斯分布的，(2)Y不是联合高斯分布的。 4.24设某一线性系统的单位冲激响应为
?e?ath(t)???0t?0t?0 (a>0)
输入N(t)为零均值白色噪声，功率谱密度为N0/2，输出为X(t)；Y(t)?X(t)?X(t?T)，假设输入从-?开始，求Y(t)的一维概率密度函数。
4.25设随机变量X、Y是联合高斯随机变量，且具有边缘概率密度fX(x)、fY(y)，
E[X]?E[Y]?0，E[X2]?E[Y2]??2，E[XY]??；证明：
E[fX(X)fY(Y)]?12?4???42
4.26设零均值高斯随机过程X(t)的相关函数为RX(?)??2e?a|?|，对其进行量化处理，得到时间连续但取值离散的随机过程Y(t)，即
Y(t)?iS if i???2?X(t)?i???2 (i=0,?1,?2,...)
(1)求Y(t)的均值函数；(2)求Y(t)的一维概率密度函数。
4.27设线性系统的输入过程X(t)为零均值高斯随机过程，相关函数为
RX(?)??2e?a|?|(a>0)，系统的冲激响应为
?e?bth(t)???0t?0t?0 (b>0,b?a)
X(t)是在t=-?接入系统的，(1)求在t=0时输出Y(0)大于y的概率；(2)如果在t=-T时，