X(-T)=0，求条件概率P{Y(0)?y|X(?T)?0}(T>0)；(3) 如果在t=T时，观察到X(T)=0，求条件概率P{Y(0)?y|X(T)?0}(T>0)。
4.28 设有平稳高斯随机过程X(t)，其均值为0，功率谱密度函数为
?S?0???/2?|?|??0???/2 GX(?)??0otherwise?0求：(1)该过程在单位时间内取得极大值的平均次数；(2)极大值的概率密度分布；(3)该过程在单位时间内正穿越X=a(从水平线X=a的下方向上穿过)的次数。
4.29设有平稳实高斯过程X(t)，均值为0，相关函数为RX(?)，该过程依均方意义可导，其导数过程为X'(t)，求在t1,t2两个时刻X(t1),X'(t1),X(t2),X'(t2)的四维概率密度。 4.30设X(n)为均值为0、方差为?2的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证：
E[X(n)Y(n)]?h(0)?，?Y??222?h(n)
2n?0?4.31均值为0、方差为?2的离散白噪声X(n)通过单位脉冲响应分别为h1(n)=anu(n)以及h2(n)=bnu(n)的级联系统(|a|<1,|b|<1)，输出为W(n)，求?W2。
4.32设离散系统的单位脉冲响应为h(n)?na?nu(n) (a?1)，输入为自相关函数为
RX(m)??X2?(m)的白噪声，求系统输出Y(n)的自相关函数和功率谱密度。 4.33序列X(n)和Y(n)满足差分方程
Y(n)?X(n?a)?X(n?a)
其中a为整常数，试用X(n)的相关函数表示Y(n)的相关函数。 4.34实值一阶自回归过程X(n)满足差分方程
X(n)?a1X(n?1)?V(n)
其中a1为常数，V(n)为方差为?2的白噪声，输入从n=0开始，X(?1)?0。
(1)证明：若V(n)均值非零，则X(n)非平稳；(2)证明：若V(n)均值为零、|a1|<1，则当n足够大时，E[X2(n)]??V2/(1?a12)；(3)若V(n)均值为零，|a1|<1，求X(n)的自相关函数的平稳解。
4.35考察如下的二阶自回归过程X(n)
X(n)??a1X(n?1)?a2X(n?2)?V(n)
(1)若已知随机过程的相关函数值RX(0)、RX(1)、RX(2)，试写出用于计算系数a1,a2以及零均值白色噪声V(n)的方差?V2的Yule-Walker方程；(2)反过来，若已知a1= -1,a2=0.5,
?V2?0.5，求RX(0)、RX(1)、RX(2)的值；(3)求相关函数的通解。
4.36察如下的二阶自回归过程X(n)
X(n)?b1X(n?1)?b2X(n?2)?V(n)
零均值白色噪声V(n)的方差为?V2，|b1?b12?4b22|?2；求：(1)X(n)的功率谱密度；(2)根据Wold分解求X(n)的自相关函数；(3)求Yule-Walker方程
4.37考察如下的二阶MA模型，输入X(n)的功率谱密度为?X2，求Y(n)的自相关函数和功率谱密度。
Y(n)?X(n)?a1X(n?1)?a2X(n?2)
4.38考察如下的ARMA模型
X(n)?0.9X(n?1)?V(n)?0.2V(n?1)
其中V(n)为零均值、单位方差离散白色噪声，求X(n)的自相关函数。
第五章：窄带随机过程
5.1证明：偶函数的希尔伯特变换为奇函数，奇函数的希尔伯特变换为偶函数。 5.2设一个线性系统的输入为X(t)时，相应的输出为Y(t)，证明：若该系统的输入为X(t)?(t)，则其输出为Y(t)的希尔伯特Y?(t)。 的希尔伯特X5.3设功率谱密度N0/2为的零均值高斯白噪声通过一个理想带通滤波器，此滤波器的增益为1，中心频率为f，带宽为2B（B?f），滤波器输出为n(t)，求n(t)的自相关函数以及其同相分量与正交分量的自相关函数。
5.4设a(t)?A(t)sin[?(t)]与b(t)?A(t)cos[?(t)]为低频信号，即当|?|???/2时，其频谱值为0，?0???0/2，证明
H{A(t)cos[?0t??(t)]}?A(t)sin[?0t??(t)]H{A(t)sin[?0t??(t)]}??A(t)cos[?0t??(t)]
?(t)的相关函数存在如下关系 5.5证明广义平稳随机过程X(t)与其希尔伯特X??RXX?(?)?RX(?)，RXX?(?)??RX(?) RX?(?)?RX(?)，RXX?(?)为奇函数
?(t)，证明： 5.6设X(t)的解释信号(复信号表示)为Z(t)?X(t)?jX?(?)],E[Z(t)Z(t??)]?0 E[Z(t)Z*(t??)]?2[RX(?)?jRX并用X(t)的功率谱密度函数GX(?)来表示Z(t)的功率谱密度函数。
5.7在复随机过程Z(t)?X(t)?jY(t)中，如果其均值E[Z(t)]?E[X(t)]?jE[Y(t)]?mZ为复常数，且其自相关函数E[Z(t)Z*(t??)]?RZ(?)为仅与?有关的复函数，则称Z(t)为复平稳随机过程，设Ak,k?1,2,...,n是n个实随机变量，?k,k?1,2,...,n是n个实数。试问：
Ak以及Ak之间应满足什么条件，才能使Z(t)??Akej?kt是一个复平稳随机过程。
k?1n5.8考虑窄带高斯过程n(t)?X(t)cos(?ct)?Y(t)sin(?ct)，假定其物理功率谱密度对称于载频?c，求概率密度f(xt,xt??,yt,yt??)。
5.9设复随机过程为Z(t)??[?icos(?it)?j?isin(?it)]，其中?i、?i为相互独立的零均值
i?1n实随机变量，E[?i2]?E[?i2]??i2，对于任意的i?k，?i、?k以及?i、?k相互正交，求该复随机过程的自相关函数。
5.10设窄带信号X(t)的物理带宽为?(?c??/2????c??/2)，证明其复包络模平方的物理带宽为?(0????)。
5.11设窄带平稳随机过程n(t)?X(t)cos(?ct)?Y(t)sin(?ct)，证明：
?(?)sin(??) RY(?)?Rn(?)cos(?c?)?Rnc5.12对于调频信号X(t)?cos[?ct?m(t)]，设|dm(t)/dt|???c，即为窄带信号，求该信号
的复包络与包络的表示式。
5.13设窄带平稳随机过程n(t)?X(t)cos(?ct)?Y(t)sin(?ct)，证明其自相关函数为
Rn(?)?RX(?)cos(?c?)?RXY(?)sin(?c?)
5.14设窄带平稳随机过程n(t)?X(t)cos(?ct)?Y(t)sin(?ct)，若满足：
Gn(?)?0 (|?|?2?c)
证明X(t)的功率谱密度为
GX(?)?Gn(???c)?Gn(???c) (|?|??c)
5.15将相关函数为RX(?)??X2e?a|?|cos(?0?)的窄带平稳随机过程X(t)表示为
**X(t)?AC(t)cos(?0t)?AS(t)sin(?0t)
**试在(1) ?0??0，(2) ?0??0的条件下，分别求出相关函数RC(?)、RS(?)以及RCS(?)。
5.16考虑随机相位正弦波与窄带平稳实高斯随机过程X(t)之和
Y(t)?Asin(?0t??)?X(t)
?为(0,2?)其中A、?0为常数，?0为窄带实平稳随机过程Y(t)的功率谱密度的中心频率，上均匀分布的随机变量，E[X(t)]?0、D[X(t)]??2，并假设X(t)、?相互独立； (1)对每一个固定的?值，求Y(t)的均值和相关函数，判断Y(t)是否为高斯过程以及平稳过程；(2)当?为(0,2?)上均匀分布的随机变量时，求Y(t)的均值和相关函数，判断Y(t)是否为高斯过程以及平稳过程。
5.17考虑图示RLC带通滤波器，设其品质因素Q??1，输入是功率谱密度为N0/2的零均值高斯白噪声w(t)，求滤波器输出端的窄带过程n(t)及其同相分量、正交分量的功率谱密度Gn(?)、GnC(?)、GnS(?)，并以图示之。
5.18设A(t)为窄带平稳高斯平稳随机过程的包络，试证：
E[A(t)]?其中?2为该窄带随机过程的方差。 X?2??X、D[A(t)]?(2?)?2
2X5.19设窄带信号Z(t)?Acos(?0t??)?n(t)，其中n(t)为高斯过程，?为[0,2?]上均匀分布随机变量，且
n(t)?X(t)cos(?0t)?Y(t)sin(?0t)
证明Z(t)的包络平方的相关函数为
RZ(?)?A4?4A2?2?4?2?4[A2RX(?)?RX2(?)?RXY2(?)]
5.20?变量为卡方分布变量的?2的平方根，证明n个自由度的?变量的概率密度为
f(?)??n?1e??2/22(n?2)/2?(n/2)
5.21证明n个自由度的卡方分布?2变量的m阶原点矩为
?n??n??n?2m????1?...??m?1? ?2??2??2?
第六章：随机过程的非线性变换
6.1给定实数x和一个平稳随机过程X(t)，定义理想门限系统的特性为
?1X(t)?x Y(t)???0X(t)?x试证：(1) E[Y(t)]?FX(x)；(2) RY(?)]?FX(x,x,?)