6.2设平方律检波器的传输特性为y?x2，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程
X(t)，其概率密度函数为
(x?a)2fX(x)?exp{?} 22?X2??X1在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当a?0时结果有何变化。 6.3设对称限幅器的特性为
X(t)??x0??x0?Y(t)?g[X(t)]??X(t)?x0?X(t)?x0
?xX(t)?x0?0(1)已知输入随机过程X(t)的一维概率密度fX(x,t)，求输出随机过程Y(t)的一维概率密度fY(y,t)。(2)当输入随机过程X(t)为零均值平稳高斯过程、自相关函数为RX(?)时，求输出过程Y(t)的相关函数RY(?)。 6.4设有理想限幅器
?1X(t)?0 Y(t)?g[X(t)]???1X(t)?0?假定输入X(t)为零均值平稳高斯随机过程。(1)求Y(t)的一维概率密度和均值；(2)用Price定理证明：RY(?)?2?arcsin[rX(?)]。
6.5设有零均值高斯平稳随机过程X(t)，其自相关函数为RX(?)，它的一维概率分布函数为FX(x)，定义一个无记忆非线性系统Y(t)?FX[X(t)]?1/2，试用Price定理证明Y(t)的相关函数为
RY(?)??R(?)?1arcsin?X? 2?2R(0)?X?6.6平方律检波器的传输特性为y?x2，在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程
X(t)，其方差为?2，相关函数为RX(?)，求检波器输出过程Y(t)的一维概率密度、均值
及相关函数。
6.7全波线性检波器的传输特性为y?|x|，在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程X(t)，其方差为?2，相关函数为RX(?)，(1)求检波器输出过程Y(t)的一维概率密度、均值；(2)用Price定理求输出过程Y(t)的相关函数及方差。 6.8半波线性检波器的传输特性为
y?x?|x|?xx?0 ??0x?02?在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程X(t)，其方差为?2，相关函数为RX(?)，(1)求检波器输出过程Y(t)的一维概率密度、均值；(2)用Price定理求输出过程Y(t)的相关函数及方差。
6.9图示非线性系统。输入为零均值、功率谱密度为GX(?)?N0/2的高斯白噪声X(t)，求输出随机过程Y(t)的自相关函数和功率谱密度。
6.10设随机变量X和Y是零均值、方差为?2的联合高斯随机变量，其概率密度分布函数分别为fX(x)和fY(y)，且E[XY]??，证明：
E[fX(X)fY(Y)]?12?4???42
6.11设功率谱密度为N0/2的白噪声通过一个物理带宽为??/2的理想低通滤波器，在低通滤波器后接一个传输特性为y?x2的平方律检波器，求检波器输出随机信号的自相关函数和功率谱密度，并将功率谱密度函数用图表示。
6.12设X(t)为均值为mX、相关函数为RX(?)的平稳高斯过程，将其加入到模型为
?1X(t)?0 Y(t)?g[X(t)]???1X(t)?0?的理想限幅器输入端，求限幅器输出过程的自相关函数RY(?)。 6.13平方律检波器的传输特性为y?包络A(t)服从瑞利分布
a2fA(a)?2exp{?2} (a?0)
?2?ab2x，在检波器输入端加入一窄带随机信号，其中2求检波器输出过程的一维概率密度、均值和方差。
6.14同步检波器如下图所示，设X(t)为窄带平稳随机信号，其相关函数为
??2??|?|?RX(?)??Xe?cos(?0?)?sin(?0|?|)? (????0)
?0??求检波器输出端的相关函数及平均功率。
6.15设全波线性检波器的传输特性为y?|x|，检波器的输入为a?N(t)，其中a??0为直流电平信号，N(t)为零均值平稳高斯随机过程，其方差为?2，求检波器输入、输出端的信噪比(考虑高信噪比情况)。
第七章：马尔可夫过程
7.1设由独立随机序列Xi构成一个新的序列Yi，且定义为
Y1?X1, Yn?CYn?1?Xn (n?2)
试证明随机序列Yi为马尔可夫序列。
7.2设X(t)为马尔可夫过程，又设t1?t2?...?tn?tn?1?...?tn?k，试证明
ftn|tn?1,...,tn?k(xn|xn?1,...,xn?k)?ftn|tn?1(xn|xn?1)
即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。
7.3试证明对于任何一个马尔可夫过程，如果“现在”的X(t)值为已知，则该过程的“过
去”和“将来”是统计独立的，即如果t1?t2?t3，其中t2代表“现在”，t1、t3代表“过去”和“将来”，若X(t2)?x2为已知，试证明
ft1,t3|t2(x1,x3|x2)?ft1|t2(x1|x2)ft3|t2(x3|x2)
7.4设齐次马尔可夫链有四个状态S1、S2、S3、S4，其转移概率矩阵为
?1/41/401/2??0?100?? ?1/201/20???1/41/41/41/4??(1)如果该链在第n时刻处于S3状态，求在n+2时刻处于状态S2的概率；(2) 如果该链在第n时刻处于S1状态，求在n+3时刻处于状态S3的概率。 7.5X(t)为马尔可夫过程，又设t1?t2?...?tm?tm?1?tm?2，试证明
ftm?1,tm?2|t1,t2,...,tm(xm?1,xm?2|x1,x2...,xm)?ftm?1,tm?2|tm(xm?1,xm?2|xm)
7.6一个质点沿标有整数的直线移动，经过一步从点j移动到j?1的概率为p，停止在点
j的概率为q，移动到j?1的概率为r，且p?q?r?1。(1)求该马尔可夫过程的一步转
移概率矩阵以及二步转移概率矩阵；(2)若该质点在n时刻位于点j，求该质点在n+2时刻位于各点的概率。
7.7若质点M在(0,1,2)三个位置随机徘徊，每经一单位时间按下列概率规则改变一次位置：自0出发，下一步停留在0的概率为q，来到1的概率为p；自1出发到达0,2的概率分别为p和q；自2出发停留在2及到达1的概率分别为p和q。该马尔可夫过程的一步转移概率矩阵以及二步转移概率矩阵。
7.8若质点M在图示的反射壁间四个位置(a1,a2,a3,a4)上随机游动，在a1处向右移动一步的概率为1；在a4处向左移动一步的概率为1；在a2、a3处向左或向右移动一步的概率为1/4、停留的概率为1/2，试求在平稳情况下，质点处于各状态的概率。
7.9设X1,X2,..,Xn,...为相互统计独立的零均值随机变量构成的序列，各自的概率密度分布函数分别为fXn(xn)，定义另外一个随机变量序列{Yn}如下
Y1?X1,Y2?X1?X2,Y3?X1?X2?X3,..,Yn?X1?X2?X3?...?Xn,...
试证明：(1) 序列{Yn}具有马尔可夫性
(2) E[Yn|Y1?y1,Y2?y2,Y3?y3,...,Yn?1?yn?1]?E[Yn?1|Yn?yn?1]?yn?1
?2/31/3?7.10设齐次马尔可夫链的一步转移矩阵为?，请应用该过程的遍历性证明： ??1/32/3??1/21/2??[P]??? n??1/21/2??(1)nP(n)7.11从1，2，3，4，5，6六个数中等可能地取一个数，然后还原，不断独立地连续下去，如果在前n次中所取的最大数为j，就说质点在第n步时的位置处于状态j。质点的运动构成马尔可夫链，试写出其转移概率矩阵。
7.12设有随机过程X(n)，n=1,2,3,…；它的状态空间I：{x,0 1?0?x1?...?xm?1?xm?1? f1,2,...,m(x1,x2,...,xm)??(1?x1)(1?x2)...(1?xm?1)?0otherwise?(1)求边际概率密度分布f1(x1)、f2(x2)及条件概率密度f2|1(x2|x1)；(2)求转移或条件概率密度函数fj|j?1(xj|xj?1) (j?3,4,...,m) ，并问该过程是否为马尔可夫过程。