7.13设经过RC滤波器后的高斯白噪声为Y(t)，其相关函数RY(?)?e??|?|，规定t3?t2?
t2?t1??，Y(t3)?Y3、Y(t2)?Y2、Y(t1)?Y1，式中t3?t2?t1。试证：
fY1|Y2,Y3(y1|y2,y3)?fY1|Y2(y1|y2)
7.14考察下列随机过程，确定是否为独立增量过程，如果是，求其均值与方差。 (1)随机地投掷一枚硬币，第j次投掷的结果用随机变量Xj描述：
?1第j次投掷结果为正面 Xj???1第j次投掷结果为反面?由此确定的累积记数过程为Yn??Xj。
j?1n(2) Z0?1，随机地投掷一枚硬币，第j次投掷的结果用随机变量Zj描述：
3?Xj2Zj?Zj?1
7.15设有一参数离散、状态连续的随机过程X(n)，n=1,2,3,…；它的状态空间I：{x, x>0} X(1),X(2),…,X(m)的联合概率密度函数为
??x1x2...xm?1e?(xmxm?1?xm?1xm?2?...?x2x1?x1)f1,2,...,m(x1,x2,...,xm)??0??0?x1,...,xm?1,xm
otherwise(1)求边际概率密度分布f1(x2)、f2(x2)；(2)求边际概率密度f1,2,...,m?1(x1,x2,...,xm?1) ；(3)求转移概率密度fm|m?1(xm|xm?1)，并问该过程是否为马尔可夫过程。
7.16三个黑球与三个白球，将这6个球任意等分两个袋中，并将甲袋中的白球数定义为随机过程的状态，则有四种状态：0，1，2，3；现每次从甲、乙袋中各取一球，然后相互交换，经过n次交换，过程的状态为X(n)，n=1,2,3，…；
(1)该过程是否为马尔可夫链；(2)计算其一步转移概率矩阵；(3)该链的平稳分布是否存
在，为什么？若存在，求其平稳分布；(4)若X(0)=0，求经过三次交换后甲袋中有三个白球的概率。
7.17设{X(n)}是一马尔可夫链，其状态空间为I：{0,1,2}，初始状态概率分布为
P{X(0)?0}?1/4,P{X(0)?1}?1/2,P{X(0)?2}?1/4
一步转移概率矩阵为
?1/43/40?? P? ?1/31/31/3????01/43/4??(2)(1)计算概率P{X(0)?0,X(1)?1,X(2)?1}；(2)计算P01
7.18设有马尔可夫链，它的状态空间为I：{0，1，2}，它的一步转移概率矩阵为
1?0P? ??1?p0?1?00?p?? 0??(1)试求P(2)，并证明P(4)?P(2)； (2)求P(n)，n?1。
7.19设{X(n)}是一马尔可夫链，其状态空间为I：{0,1}，其一步转移概率矩阵为
?p1?p?P? ?? 1?pp??证明：
?1n?(2p?1)?2? ??1?(2p?1)n??21??(2p?1)n?2?
1?(2p?1)n??2?P(n)7.20天气预报问题。假设今日是否下雨依赖于前3天是否有雨，请将这一问题归结为马尔可夫链。如果过去一连3天有雨，今天有雨的概率为0.8，连续3天为晴，今天有雨的概率为0.2；在其他天气情况下，今日的天气与昨日相同的概率为0.6，求这个马尔可夫链的转移矩阵。
7.21设{Xn,n?N}为马尔可夫链，其状态空间I?{a,b,c}，转移矩阵为
?1/21/41/4?? P??2/301/3????3/52/50??(1)求P{X1?b,X2?c,X3?a,X4?c,X5?a,X6?c,X7?b|X0?c} (2)求P{Xn?2?c|Xn?b}
7.22设{Xn}为马尔可夫链，其状态空间I?{a,b,c,d,e}，转移概率矩阵为
0??1/201/20?01/403/40???P??001/302/3?，求其闭集。
??1/41/201/40????1/301/301/3??7.23确定下列马尔可夫链的状态分类，哪些属于常返的，哪些属于非常返的。其一步转移概率矩阵分别为。
0?0?01/21/2??00?；(2) ?1/201/2(1) P??P????1/21/2??1/21/20???0?000011?0??1/21/20?1/21/20?1?0?；P??? ?1/41/41/41/4?0????0?010??00?0??0? ?0?0??0?0?1/201/20?1/43/40?1/41/21/40??1/21/2000???0?；(5) P??0010(4) P??1/201/20???0001/21/201/32/3???0??001/21/2?000?0??17.24设N(t)为具有比率为?的泊松记数过程，其相应的概率分布为
(?t)k??tP{N(t)?k}?e
k!试求该过程的特征函数，并根据特征函数求其均值、方差。
7.25设N(t)为具有比率为?的泊松记数过程，以如下方式产生一个新的随机过程X(t)，
X(0)?0，在N(t)过程中，每发生一事件，X(t)就变化一随机数量，对应第n次事件的
随机变量为Yn，并且对应不同的事件，这些变化之间以及与N(t)间是相互独立的，这样
X(t)??Yn
n?1N(t)假设每个随机变量Yn具有相同的概率密度函数fY(y)，对应的均值、均方值分别为mY、
mY2，试求该过程的特征函数，并根据特征函数求其均值、方差。 7.26设N1(t)与N2(t)是两个相互独立的、比率分别为?1和?2的泊松过程 (1)证明NS(t)?N1(t)?N2(t)是比率为?1??2的泊松过程； (2)证明ND(t)?N1(t)?N2(t)不是泊松过程 7.27设在时间t内向电话总机呼唤k次的概率为
?kk!e??,k?0,1,2,...，其中??0为常数，
在任意相邻的时间间隔内的呼唤次数是相互独立的，求在2t时间内呼唤n次的概率P2(tn)。 7.28设X1、X2、…、XN是相互独立、分别服从参数为?1、?2、…、?N的泊松分布
P{Xi?k}??ikk!e随机变量，证明随机变量Y??Xi服从参数为????i的泊松分布。
??NNi?1i?17.29电子管中的电子发射问题。设单位时间内到达阳极的电子数目N服从泊松分布，即
P{N?k}??kk!e??，每个电子携带的能量构成随机序列X1、X2、…、Xk；已知各Xi间
2N相互独立且与N相互独立，E[Xi]??、D[Xi]??；S??Xi，求S均值与方差。
i?17.30给定一个随机过程X(t)的任意两个时刻t1'和t2'，若对于任意时刻t'?t1'，X(t')与
X(t2')?X(t1')统计独立，试证明X(t)为马尔可夫过程。 7.31多级单调谐电流放大器的频率响应特性为
?(???0)2?K(?)?C0exp???
2???其输入端接入电流I(t)??q?(t?tj)，q为电子的电荷，已知泊松脉冲序列Z(t)?
j??(t?t)的相关函数为R(?)??j2Z???(?)，如果中频放大器输出电流V(t)的均值mV和
j方差?V2都可以测出，求输入脉冲列每秒的平均个数?。
7.32已知X(t)为泊松过程，如果t2?t1，且n和k为非负整数，证明：
P{X(t1)?k,X(t2)?n?k}?e??t2?k?n(t2?t1)nt1k
n!k!7.33一质点沿圆周运动，圆周按顺时针等距排列3个点(0,1,2)将圆周分成3格，质点每次移动或顺时针或逆时针移动一格，顺时针前进一格的概率为1/2，逆时针退一格的概率为1/2。设X(n)代表质点经过n次游动后所处的位置，X(n)为齐次马尔可夫链。试求：(1)一步转移概率矩阵，(2)极限概率分布。
7.34一质点沿圆周运动，圆周按顺时针等距排列5个点(0,1,2,3,4)将圆周分成5格，质点每次移动或顺时针或逆时针移动一格，顺时针前进一格的概率为p，逆时针退一格的概率为1?p。设X(n)代表质点经过n次游动后所处的位置，X(n)为齐次马尔可夫链。试求：(1)一步转移概率矩阵，(2)极限概率分布。