第五讲 二次型标准形规范形化简与定性判别
1.二次型的矩阵形式和矩阵的合同
2.二次型标准形化简（对称变换法、配方法、正交变换法） 3.二次型规范形化简（开方法）
4.实二次型定性判别（惯性指数法、特征值法、顺序主子式法、定义法）
1 二次型的矩阵形式和矩阵的合同
二次型的概念
定义1 含有n个变量x1,x2,???,xn的二次齐次函数
2 f?f(x1,x2,???,xn)?a11x12?a22x22?a33x3?????annxn2
?2a12x1x2?2a13x1x3???2a1nx1xn?2a23x2x3???2a2nx2xn
???????????2an?1,nxn?1xn称为n元二次型（其中aiixi称为平方项，aijxixj(i?j)称为混乘项）．
2二次型的矩阵形式
若取aij?aji，则2aijxixj?aijxixj?ajixjxi，于是上式可以写成
f?a11x12?a12x1x2?a13x1x3?????a1nx1xn
2?a21x2x1?a22x2?a23x2x3???a2nx2xn ???????????????
2?an1xnx1?an2xnx2?an3xnx3???annxn?x1(a11x1?a12x2?a13x3?????a1nxn) ?x2(a21x1?a22x2?a23x3?????a2nxn)
???????????????????????????????????????????xn(an1x1?an2x2?an3x3?????annxn)
??(?aijxixj)i?1j?1nn
1
?a11x1?a12x2?a13x3?????a1nxn??ax?ax?a23x3?????a2nxn??(x1,x2,???,xn)?211222
??????????????????????????????????????ax?ax?ax?????ax?n33nnn??n11n22?a11??(x1,x2,?,xn)?a21??a?n1a12a22?an2?a1n??x1??a2n??x2?
?????????ann???xn??xTAx.
?x1??a11??x2?a其中，x???，A??21????????an1x?n?a12a22?an2?a1n??a2n?T．称f?f(x)?xAx为二次型的矩阵形式．
????ann??T由aij?aji，故A为对称矩阵，即A?A．称对称矩阵A为该二次型的矩阵．二次型f称为对称矩阵A的二次
T型．对称矩阵A的秩r(A)称为二次型的秩．在这种情况下，二次型f与对称矩阵A之间通过f(x)?xAx就建立起
一一对应关系，故往往用对称矩阵A的性质来讨论二次型f的性质．
当aij为复数时, f称为复二次型；当aij为实数时，f称为实二次型．
例1 设f?x12?2x1x2?2x1x3?3x22?x32，求f的矩阵，并求f的秩．
解 f?xTAx?x12?2x1x2?2x1x3?3x22?x32对应的对称矩阵是
?111?r?111??111??111?A??130???02?1???0?1?2???0?1?2?
?10?1??0?1?2??02?1??00?5?????????故r(A)?3，所以二次型f的秩为3．
T对于二次型f?xAx??(?axx)，我们讨论的主要问题是：寻求可逆线性变换x?Cy 即
ijiji?1j?1nn?x1?c11y1?c12y2?????c1nyn?x?c21y1?c22y2?????c2nyn ?2
????????????x?cy?cy?????cyn11n22nnn?n使二次型f(x)?xAx化成只含有平方项，不含有混乘项的形式，即
Tf?k1y12?k2y22?????knyn2．
这种只含有平方项的二次型，称为标准二次型，或称为二次型的标准形．
对于实二次形，再若标准形的系数k1,k2,???,kn只在0,1,?1中选取，则将这种二次型称为规范二次型，即
（其中r(?n)为二次型的秩） f?y12?????yp2?yp?12?????yr2，
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矩阵的合同
下面讨论一下合同矩阵．
对于二次型f?xTAx而言，经可逆线性变换x?Cy，将其化成
f?xTAx?(Cy)TA(Cy)?yT(CTAC)y．
若记B?CAC 则f?yTBy．
由于BT?(CTAC)T?CTAT(CT)T?CTAC?B，故B为对称矩阵，故f?yTBy为 关于y1,y2,???,yn的二次型．
关于A与B?CAC的关系，我们给出以下矩阵合同的定义．
TT定义2 设A，B为两个n阶方阵，如果存在可逆矩阵C，使得CTAC?B，则称矩阵A合同于矩阵B，或称A与B为合同矩阵．
由以上定义可以看出，二次型f?f(x1,x2,???,xn)?xTAx的矩阵A与经过可逆线性变换x?Cy得到的二次型的矩阵B?CAC是合同矩阵．
矩阵合同的基本性质：
① 自反性 任意方阵A与其自身合同；
T因为EAE?A．
T② 对称性 若A与B合同，则B与A合同；
T?1?1因为若A与B合同，则存在可逆阵C使得CAC?B则(C)B(C)?A即
T(C?1)TB(C?1)?A即B与A合同．
③ 传递性 若A与B合同，B与C合同，则A合同于C；
因为B?C1TAC1,C?C2TBC2 得 C?C2T(C1TAC1)C2?(C1C2)TA(C1C2) ，故A与C合同．
定理1 若A为对称矩阵，C为可逆矩阵，则B?CTAC仍为对称矩阵，且r(A)?r(B)（请读者自己证明）．
TT从而二次型f(x)?xAx经可逆变换x?Cy后，其秩不变，但二次型f的矩阵A变为B?CAC；
在本节最后给出矩阵的等价、相似、合同三种关系的逻辑关系：
①A经过若干次行列变换得到B，则A与B等价，即A与B等价?存在可逆阵P,Q 使PAQ?B成立．
?1②A与B相似?存在可逆阵P使PAP?B．
T③A与B合同?存在可逆阵P使PAP?B．
通过以上三个定义可以看出，相似矩阵一定是等价矩阵，合同矩阵一定是等价矩阵．特别，由上一章实对称矩阵的可正交相似对角化知道：实对称矩阵与其相似的对角矩阵既相似又合同. 但等价矩阵不一定是相似矩阵，也不一定是合同矩阵．
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习题1
1.写出下列二次型的矩阵，并求其秩.
222（1）f?x1?2x2?3x3?4x1x2?6x2x3；
222（2）f(x1,x2,x3,x4)?x1?x2?3x3?4x1x2?6x4x3；
?36?4??x1?????（3）f??x1,x2,x3??4?27??x2?
?6?10??x????3?2224.二次型f(x1,x2,x3)?5x1?5x2?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩为2，则c?（ ）.
A．4 ； B．3 ； C．2 ； D．1 .
5.设A,B均为n阶矩阵，且A,B合同，则（ ）
A．A,B相似 ；B．A?B ；C．r(A)?r(B)； D.A,B有相同的特征值. 6.下列矩阵（ ）与矩阵A?diag(?2,1,5)合同. 2A．diag(5,?1,?3)；B．diag(3,3,1)；C．diag(?2,0,1)；D. diag(7,4,?1).
2二次型的标准形化简
在这一部分中我们将用三种方法证明：任意二次型f?f(x1,x2,???,xn)都可以经过可逆线性变换x?Cy化成只含有平方项的形式：
f?f(x)?xTAx?(Cy)TA(Cy)?yT(CTAC)y?yTDy
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?k1y12?k2y22?????knyn2
?k1??k2?即化成二次型f的标准形．其中D???为对角矩阵. ??kn???化二次型为标准形三种方法分别式：①对称变换法，②拉格朗日配方法，③正交变换法．
对称变换法化二次型为标准形．
设有可逆线性变换x?Cy,它把二次型f(x)?xTAx化成标准形
f(x)?xTAx=(Cy)TA(Cy)?yT(CTAC)y?yTDy，其中D?CTAC为对角矩阵．
求可逆矩阵C，使对称矩阵A化成对角矩阵D?CAC的过程，称为A合同对角化.
由于C为可逆矩阵，故C可以写成若干个初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1,P2,?,Ps，使C?PP12?Ps，于是有
TTTD?CTAC?Ps?P2P1APP12?Ps．
TC?PP12?Ps?EPP12?Ps
将上面两式合并起来写成分块矩阵的形式，就有
?PsT??0即
0??P2T???E??0TT0??P1??E??00??A??D????PP12?Ps???
CE??E???T?Ps??00??P2???E??00??P1??E??0T0??A??D?12?Ps?????PP?
E??E?C???A?2n?n由此可以看出，对由A与E竖排而写的型矩阵??作相当于右乘矩阵P1,P2,?,Ps的列初等变换，再对
E??2n?nTT其中A所在部分作相当于左乘矩阵P则矩阵A所在部分变为对角矩阵D，而单位矩阵Es的行初等变换，1,P2,?,PT所在部分就相应的变为所用的可逆矩阵C.
?A? 对由A与E竖排而写的2n?n型矩阵??作一次相当于右乘初等矩阵P的列初等变换和一次相应的(相当于
E??2n?n左乘矩阵??P0??的)行初等变换合起来称为一次对称变换. 即对称变换有如下三种： 0E??T①ci?cj及相应的ri?rj； ②kci及相应的kri；
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