③ci?lcj及相应的ri?lrj. 对称矩阵A合同对角化方法 对??A??进行对称变换：先作倍列加化A所在部分的第一个对角元素为非零，再作一次相应的行初等变换（这?E?2n?n使这个非零对角元素变为2倍，而第一行其余元素只要改成与第一列对称就可以了）；再利用这个非零对角元素的倍数作倍列加化A所在部分的第一行对角元素后面的所有元素都为零，每次列初等变换都要作一次相应的行初等变换（这只要把A所在部分的对角线下方元素改成与对角线上方元素对称就可以了）；这样A所在部分的第一个对角元素就变好了；再对A所在部分的第二个对角元素，进行上述过程，一直到A所在部分的每一个对角元素都变好了，就把A所在部分化成了对角矩阵D，则E所在部分就相应的变为所用的可逆矩阵C了.
因此上述对称变换过程中的化对角元素为非零的两次初等变换可以同时进行，写成一步. 每次化A所在部分的对角元素后面的所有元素都为零所作的倍列加，和把A所在部分的对角线下方元素改成与对角线上方元素对称所作的相应的行初等变换也可以同时进行，写成一步.
?111??，利用对称变换法求可逆矩阵C，使CTAC?D为对角矩阵.
例2 设A??122???121???解 由
?1?1A??1E?1?0?0??1?1因此，所用可逆矩阵C??01?00???122010?100??100?c2?c1?011??010?c10?c0?1?， 3?c1?03?c?2?0?????????????r2?r1?1?1?1?r3?r2?1?10??01?1?010?r3?r1??001??001?????0??1?T?． ?1?，对角矩阵D?CAC??1??1??1???1?2?1?0?0?1??例3求一个可逆线性变换，将二次型f?2x1x2?2x1x3?4x2x3化成标准形．
解 由于二次型f所对应的矩阵为
?011???A??10?2?．
?1?20???利用对称变换法对A进行合同对角化，即
??00?00??2?21?1?1??01?2?0?120?0?12?32?0?2?c2?12c1??10?2??1??32?12?c?3c?0?c?c043?12c1032A??1?20?c?1?20??12???????????????????????????
E?100?r1?r2?100?r2?12r1?1?1212?r3?3r2?1?122??01?10?10?r3?12r1?11212??112?1??00????0?01?01???001?01??????21?122???1?所以C??112?1?，C?0，且D???0201???????T?,CAC?D. 4?? 6
x?y1?12y2?2y3??1令x?Cy，即 ?x2?y1?12y2?y3，
y3??x3?将该可逆线性变换代入原二次型可得其标准形
f?xTAx?(Cy)TA(Cy)?yT(CTAC)y?yTDy?2y12?122y2?4y3． 2通过以上讨论可以看出，对称变换法化二次型为标准形就相当于利用对称变换把二次型f所对应的对称矩阵A合同对角化．
配方法化二次型为标准形
拉格朗日配方法的规则：
① 按平方项的顺序配方，即若二次型含有xi的平方项，则先将所有含有xi项集中在一起,按下列公式
b2b2 ax?bxi?a(xi?)? ，其中a为系数，b中不含有xi
2a4a2i配成完全平方，再对其余的变量重复上述过程直到所有变量配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形． ② 若二次型中不含有平方项，只含有混乘项．若aij?0(i?j)，则可以先作一个可逆变换
?xi?yi?yj??xj?yi?yj(k?0,1,???,n且k?i,j) ?x?yk?k化二次型f为含有平方项的二次型，然后再按①中方法配方．
注意：配方法是一种可逆线性变换，其标准形中平方项的系数只与配方的方法有关，与A的特征值无关． 由于二次型f与对称矩阵A一一对应，而任一二次型f经配方法一定可以标准化，即存在可逆线性变换x?Cy使得f?f(x)?xAx?(Cy)A(Cy)?y(CAC)y为标准形． 即
TTTT?k1??k2?CTAC?D??
???kn???为对角矩阵．
至此，我们已经分别用对称变换法和配方法证明了以下定理：
TCD?定理2 对于任一对称矩阵A，存在可逆矩阵C，使CA为对角矩阵，即任一对称矩阵都与一个对角矩阵合同．
T从而二次型f可以经过可逆线性变换x?Cy变成标准形，即D?CAC为对角矩阵．亦即
f?xTAx?(Cy)TA(Cy)?yT(CTAC)y?yTDy
?k1y12?k2y22?????knyn2；
7
?k1??k2?注：在该定理中，A的合同对角矩阵D?? 的对角线元素k1,k2,???,kn只与对称变换法或配方法的过
???kn???程有关，不一定是A的n个特征值．
例4 设f?x12?2x1x2?2x1x3?2x22?4x2x3?x32，试将二次型f解 由
化成标准形，并写出所用的可逆线性变换．
f?x12?2x1x2?2x1x3?2x22?4x2x3?x32?(x12?(2x2?2x3)x1)?2x22?4x2x3?x32?((x1?x2?x3)2?(x2?x3)2)?2x22?4x2x3?x32 ?(x1?x2?x3)2?(x22?2x2x3)?(x1?x2?x3)2?(x2?x3)2?x32令
?y1?x1?x2?x3?x2?x3， ?y2??x3?y3?即
??x1?y1?y2y2?y3． ?x2?y3??x3?则f的标准形为y12?y22?y32．此时也为f的规范形．
?x1?y1?y2?1?10??y2?y3．即 x?Cy，C??0所用的可逆线性变换为?x2?1?1?．
??001?x?y??3?3?111?在上例中，由于f(x)?xAx的对称矩阵A??122?，且将f化成标准形所需的可逆线性变换系数矩阵
?121???T?1?10??1??1?T?．即A与对角阵D??1?合同．由此可见，要把二次C??01?1?，则必有CAC?D??1?001?????1??1??????T型f化成标准形，关键在于求出一个可逆线性变换系数矩阵C，使得CAC?D为对角矩阵．
例5 化二次型f?x12?2x1x2?3x22?2x2x3?2x32为标准形．
解 方法① 由f?(x12?2x1x2?x22)?(x22?2x2x3?x32)?x22?x32
?(x1?x2)2?(x2?x3)2?x22?x32．
由于原二次型为三元二次型，配方完成后出现了四个平方项，即平方项的项数大于二次型的元数，这是错误的．即二次型标准化的过程中，标准形中的平方项数小于等于二次型的元数．怎样才能避免以上错误呢？方法就是按平方项的变量依次逐个顺序完全配方，即遵循拉格朗日配方法的第①准则．
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方法② f?(x12?2x1x2?x22)?(2x22?2x2x3)?2x32
13x3)?x32 4213?(x1?x2)2?2(x2?x3)2?x3222
3?y12?2y22?y322
?(x1?x2)?2(x2?x2x3?22其中，令
?y1?x1?x2?x2?1x3， ?y2?3?y?x3?3即
?x?y?y?1y1223?1?y2?1y3 ?x2?2?x?y3?3?为所用的可逆线性变换．
?1?112?同时可逆线性变换系数矩阵C??01?12?．
?001???例6 化f?2x1x2?2x1x3?6x2x3为标准形，并求所用的可逆线性变换矩阵C．
解 由于f中不含有平方项．可以令
?x1?y1?y2?y2?y3，x?C1y ?x2??y3?x3?其中
?110?C1??01?1?
?001???代入f，得
f?2x1x2?2x1x3?6x2x3?2(y1?y2)(y2?y3)?2(y1?y2)y3?6(y2?y3)y3． ?2y12?2y22?4y1y3?8y2y3再配方
f?(2y12?4y1y3)?2y22?8y2y3?2(y1?y3)?2y?2y2?8y2y32232
2 ?2(y1?y3)2?2y22?8y2y3?2y32 ?2(y1?y3)2?2(y2?2y3)2?6y39
?y3?z1?y1?y2?2y3，即 令 ?z2??y3?z3?y?z?z3??101??11z2?2z3，亦即y?C2z，其中C2??012?． ?y2??001?y?z???33?则二次型f化成标准形f?2z12?2z22?6z32．所用的可逆线性变换矩阵为
?110??101??113?C?C1C2??0?10??012???1?1?1?．
?001??001??001???????即所需可逆线性变换为x?Cz，C的表达式如上．
上面介绍了利用拉格朗日配方法化二次型为标准形，此方法与二次型的矩阵A的特征值及特征向量无关．
正交变换法化实二次型为标准形
正交变换法，此方法只适用于化实二次型为标准形，且与实二次型f的实对称矩阵A的特征值及特征向量密切相关．
为了介绍正交变换法，先作一些准备(P10____P19)
（1）向量的内积 定义3 设有n维实列向量
?b１??a１?????ab２?２???， ?＝， ?＝??????????a?bｎ??ｎ?令
??,??＝?Ｔ?＝?a1?a2?b1???nb2???an???ab?ab???anbn＝?aibi， ???1122i?1???bn?称??,??为向量?与?的内积（也称为数量积）．
显然，若?与?都为n维实行向量，即???a1,a2,?,an?，???b1,b2,?,bn?，则
??,??＝??Ｔ?a1b1?a2b2??anbn??aibi.
i?1n由以上定义可以看出向量内积是两个向量的一种运算，其结果是一个实数． 内积具有以下性质：（其中?，?，?为n维实向量，k为实数） ① ??,?????,??； ② ?k?,???k??,??； ③ ????,?????,?????,??；
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