??1?例9 设1P????2??1?3??121121?3??1?，验证P不是正交矩阵． ?2???1???解 P的行向量组的第一个向量为?1??1,?组不是单位正交组，故P不是正交矩阵.
??11?,，其长度为?１?1，故?1不是单位向量．因此，P的行向量23??例10
设?为n维单位列向量，令H?E?2??，证明：A为对称的正交矩阵．
T证 由于
HT?(E?2??T)T?ET?(2??T)T?E?2?T??H，
故H为对称矩阵．
TT由?为n维单位列向量，得?????1，即???1. 又
HT?H?H?H?H2?(E?2??T)2?E2?4??T?(2??T)2
?E?4???4(??)?E?4???4(??)(??) ?E?4???4?(?故H为正交矩阵．
综上知，H为对称的正交矩阵．
TTTT2TTT?)?T?E?4??T?4??T?E，
（7）实对称矩阵的特征性质
在上一节我们讨论了一般的n阶方阵A的相似对角化问题，并得出了一些有效的结论．本节我们仅对A为实对称矩阵的情况进行讨论，实对称阵具有许多一般矩阵所设有的特殊性质．
定理5
实对称矩阵的特征值都为实数．
证明 设复数?为对称矩阵A特征值，复向量x为对应的特征向量，即：
Ax??x，x?0 以?表示?的共轭复数，x表示x的共轭复向量，则
Ax?A?x?(Ax)??x???x
于是有
x?A?x?x(Ax)?x??x??x?x，及
x?A?x?(x?AT)x?(Ax)T?x?(??x)T?x???x?x
TTTTTT以上两式相减，得
(???)(x?x)?0
由假设x?0，所以有
16
Tx?x??xi?xi??xi?0，
i?1i?1Tnn2故 ????0，即 ???，这说明?为实数．
对于实对称阵A，由于其特征值?i（i?1,2,?,n）全为实数，故线性方程组：
(?iE?A)x?0
是实系数齐次线性方程组，由其系数行列式
?iE?A?0知它必有实得基础解系，所以A的特征向量可以取实向量．
定理6
设?1,?2是实对称矩阵A的两个特征值，p1,p2是对应于的特征向量，若?1??2，则p1与p2正交．
证明 由题意可知
Ap1??１??２， １p1，Ap２??２p２，?因A为对称阵，故
TTTT?1p1?(?1p1)T?(Ap1)T?p1A?p1A，
于是
TTTTTTT?1p1?p2?(p1A)?p2?p1(Ap2)?p1A?p1(?2p2)??2p1p2，
T移项有 (?1??2)p1p2?0，
T由?1??2，故 p1p2?0，即 p1与p2正交．
定理6说明实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量不但是线性无关的，同时也是正交的．
定理7
设A为n阶实对称阵，?是A的特征方程的r重特征根，则矩阵?E?A的秩r(?E?A)?n?r，从而对应
于特征值?恰有r个线性无关的特征向量．
定理6说明实对称阵一定可以相似对角化． 以上准备知识本身也是很重要的.
实对称矩阵正交相似对角化
定理8
?1T设A为n阶实对称阵，则必存在正交阵P，使PAP??，即PAP??．
其中?是以A的n个特征值为对角元素的对角阵．
证 设A的互不相等的特征值为?1,?2,?,?t，它们的重数分别为n1,n2,?,ns重，（n1?n2???ns?n）．由定理5和定理6知，对应于特征值?i（i?1,2,?,n）的线性无关的特征向量共有ni个（i?1,2,?,n），把它们正交化，再单位化．即得A对应于?i的ni个单位正交特征向量，由于
?ni?1ti?n，故A总体而言有n个特征向量，再由定理6
?1T知，这n个单位特征向量两两正交，以它们按列排列够成的P为正交矩阵，则PAP?PAP??．
求正交阵P使实对称矩阵A正交相似对角化的步骤
①求出A的全部互异特征值?1,?2,?,?t；
17
②对每个特征值?i（i?1,2,?,n），有?iE?Ax?0求出一个基础解系； ③将每组基础解系（特征向量）正交化，再单位化；
TP??（其中P中的列向量的排列顺序与矩阵④以这些单位正交向量作为列向量构成正交阵P，则PAP?PA?1?的对角线上的特征值的排列顺序相对应）．
我们将以上过程称为实对称矩阵的正交相似对角化过程．
0??1?2??例11 设实对称阵A???22?2?，求正交阵P，使P?1AP?PTAP??为对角矩阵．
?0?23???解 由矩阵A的特征方程为
20??56?2??4??510?2?2??10?E?A?2??22r1?2r22??22r1?2r32??2202??302??302??3
??500c2?2c12??2?2?(??5)(?2???6?4)?(??5)(??1)(??2)?0c3?2c102??3解得A的特征值为 ?1??1，?2?2，?3?5．
??1??220???220?r3?2r2??204?1?10?2?对?1??1，由?2?32?r2?r?01?2??r1?01?2? ?12??r21?0?02?4????????02?4?r?????????2??2r2????????????000?1??000?得(?E?A)x?0的基础解系
?1?(2,2,1)T；
?101??120??120??r2?1????2r0?42r?2r01?当对?2?2，由?202?r 21????02?1????????02?1?r3?2r2?2????????????12??000??得(2E?A)x?0的基础解系
?2?(?2,1,2)T；
?420?1r?1120?r3?r2?10?12?当对?3?5，由?232?41?022?12r2?011?
?022?r?2r?022?r?1?000?2r???????????1221?????????????得(5E?A)x?0的基础解系
?3?(1,?2,2)T．
由?1,?2,?3互异，知?1,?2,?3正交，将它们单位化
?3?13??1?23??2??23? p1???23?， p2???13?， p3????23?，
??????1?13??2?12??3??23??23?13?23?令P?(p1,p2,p3)??23?13?23?，则P为正交阵，且
?13?2323?????1??2PTAP?P?1AP??????
???1?????2???． ??3?5????18
注：P的列向量的次序要与?的对角元素的次序相一致：
??1??3 若令P?(p1,p3,p2)，则对角阵???????3? 若令P?(p3,p2,p1)，则对角阵????????1?????5???； ??2?2??????5?????2???． ??1??1?????2?0?11???例12 设A???101?，求一个正交阵P，使P?1AP?PTAP??为对角矩阵．
?110??? 解 由矩阵A的特征方程
1?1r?r?1?1??11?121?E?A?1??11????10c1?c20??10?(??1)(?2???2)?(??1)2(??2)?0．
?1?1??1?1??2?1?解得A的特征值?1??2，?2?1（二重根）．
???21?1?r1?r2??1?1?2??1r??10?1??101?对?1??2，由?2E?A??1?2?1?r2?r1?0?3?3?32?011??r1?011?
??1?1?2?r?r?000?r?r?000?????000?????????????????31?12????3????3??1??????3?， 得(?2E?A)x?0的基础解系 ?1???1?，将?1单位化，得
p1?????1?3?????3???3?????11?1?r?r?11?1?对?2?1（二重根），由E?A??11?1?21?000?
??1?11?r3?r1?00?0????????????1??1?????得(E?A)x?0的基础解系 ?2??1?，?3??0?，
?0??1??????1??1???1??2???2,?3????0??1?1???1?，
将?2,?3正交化，令?2??2,?3??3?22??2?????2?1??0??2????????1? 19
再将?2,?3单位化得，令p2??2?2???2?????2???3???2?,p2???????32????0??????6??6?6??， 6?6??3??最后令
?32???2?3?32P?(p1,p2,p3)???2?3?30??3?6??6?6??，即为所求的矩阵使 6?6??3????1??2P?1AP?PTAP?????????2?????1???为对角矩阵． ??2?1????T?1由于任一实对称矩阵A都可以正交相似对角化，即存在正交矩阵P使得PAP?PAP??为由A的特征值为对角元素的对称矩阵．从而任一实对称矩阵都可以合同对角化．
定理9 任一实二次型f(x)?xTAx，总存在正交变换x?Py，使f?xTAx? (Py)TA(Py)?yT(PTAP)y为标准
形：f??1y12??2y22??????nyn2．其中?1,?2,???,?n恰好为实二次型f的实对称矩阵A的n个特征值．
通过以上讨论可得利用正交变换法化实二次型为标准形的基本步骤：
T① 将实二次型f写成矩阵形式f(x)?xAx，求出实对称矩阵A；
② 求出A的所有特征值?1,?2,???,?n；
③ 求出A的不同特征值对应的线性无关的特征向量?1,?2,???,?n； ④ 将特征向量?1,?2,????n正交化，再单位化．得：p1,p2,???,pn，记
??1? P?(p1,p2,???,pn)；?????⑤ 作正交变换x?Py，则
?2??? ??n??f?xTAx?(Py)TA(Py)?yT(PTAP)y?yT?y??1y12??2y22??????nyn2．
例13 将二次型f?17x12?14x22?14x32?4x1x2?4x1x3?8x2x3利用正交变换x?Cy化成标准形．
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