?17?2?2???解 ① 二次型f对应的实对称矩阵A??214?4 ????2?414??? ② 求A的特征值
22??1722??1722?E?A?2??144r3?r22??144c2?c32??14424??14018????1800??18
?(??18)(?2?27??170?8)?(??18)2(??9)?0得?1?9,?2??3?18； ③ 求A的特征向量 对?1?9，由
??17r1?r2?822??r?2r??25?4?19r??201?r2?r3?10?12?????????133(9E?A)??2?54?????????000???????000?1?01?1?
?24?5?r2?r1?09?9?r1?5r3?01?1??r1?000???r?r????2??31得(9E?A)x?0的基础解系为
?1??2??1??1?，
???1???对?2??3?18，由
?122?r?2r?122?1?000? 18E?A??244?2r?2r?244???????1?000?????2??得(18E?A)x?0的基础解系为
??2???2?? ，??
?2??1??3???0??0??1?????④ 正交化单位化
由?1与?2,?3正交，故只需将?2,?3正交化．令
??2??1??2???5??2??，??????2,?3?????4?.
?1??1??1?；?2??2??1332???5??,?????22????1??0??1??????再单位化.令
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??2???2??1??35?5???3???3??4?1?2??2?1??． ??p1??，p2?，p3???1?3??3?35?5??2?????5??2??0?????3????35?令P?(p1,p2,p3)，即为所求的正交变换矩阵，所求的正交变换为x?Py．且在正交变换x?Py下原二次型化成标准形
f?9y12?18y22?18y32．
习题3
21. 求二次型f(x1,x2)?2x2?2x1x2?2x2 的标准形.并求得到标准形和规范形分别所用的可逆线性变换.【建议用三
1种不同的方法求其标准形以及所用的可逆线性变换】
2. 将下列二次型化为标准形,并求所用的可逆线性变换矩阵.
22222（1）f?x1?2x2?5x3?2x1x2?2x1x3?6x2x3（2）f?x12?3x2?5x3?2x1x2?4x1x3
（3）f?2x1x2?2x2x3
3.求一个正交变换x?Py，将二次型
f?2x1x2?2x1x3?2x1x4?2x2x3?2x2x4?2x3x4化为标准形.
?x????????2224.二次曲面x?ay?z?2bxy?2xz?2yz?4可经正交变换?y??P???化为
?z????????椭圆柱面方程??4??4，求a,b的值与正交阵P.
22
22
3二次型的规范形化简
在以上的讨论过程中我们可以看出：任意二次型都可以标准化.虽然标准形的形式并不唯一，但是对于实二次型，在标准形中，正，负平方项的项数及0项的项数是唯一确定的，即正平方项的项数等于f对应的对称矩阵A的正特征值的个数，负平方项的项数等于A的负特征值的个数，0项的项数等于A的特征值为0的个数（其中重根按重数计算）．在此基础上，如有必要我们可以重新安排变量的次序，使平方项的顺序分别为正平方项，负平方项和0项．则秩为r的二次型f的标准形可以化成
f?d1x12?d2x22????dpxp2?dp?1xp?12?????drxr2?0?????0
其中di?0，i?1,2,???,r，r?r(A)为f的秩． 进而化成
f?(d1x1)2?(d2x2)2????(dpxp)2?(dp?1xp?1)2?????(drxr)2，
若再作可逆线性变换（这个变换通常称为开方变换）：
?y1?d1x1??y2?d2x2???yr?drxr ?y?x?r?1?r?1?y?xn?n则
f?y12?????yp2?yp?12?????yr2，
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即二次型f最终可化成以上形式的标准形（此种标准形是一种特殊的规范形）．因此我们有以下定理．
定理10 任何实二次型都可以通过可逆线性变换化成规范形且规范形是由二次型本身唯一确定（即?1,?1系数的项数
及0项的项数是唯一确定的），与所作的可逆线性变换无关．
s?p?q称通常将实二次型f的规范形的正项个数p称为f的正惯性指数，负项个数r?p?q称为负惯性指数，
为f的符号差，p?q?r正好为f的秩，也为f对应的矩阵A的秩r(A)．同时也可以看出：二次型f的正惯性指数等于f对应的矩阵A的正特征值的个数，负惯性指数q?r?p为A的负特征值的个数（其中重根按重数计算）．
例14 化实二次型f?2x12?4x1x2?x22?3x32为规范形，并求其正、负惯性指数．
解 由
f?2(x12?2x1x2?x22)?x22?3x32
?2(x1?x2)2?x22?3x32??x22?(3x3)2??2(x?x)12??令
2
?y1?2(x1?x2)??， ?y2?3x3?y?x2??3则f?y12?y22?y32为规范形，且正惯性指数p?2，负惯性指数 q?1．
习题3
3. 求二次型f(x1,x2)?2x1?2x1x2?2x2 的规范形.并求得到标准形和规范形分别所用的可逆线性变换.【建议用三种不同的方法求其标准形以及所用的可逆线性变换】
4. 将下列二次型化为规范形,并求所用的可逆线性变换矩阵.
22222（1）f?x1?2x2?5x3?2x1x2?2x1x3?6x2x3（2）f?x12?3x2?5x3?2x1x2?4x1x3
22（3）f?2x1x2?2x2x3
22223.设二次型 f(x1,x2,x3)?ax1，求a的?ax2?(a?1)x3?2x1x3?2x2x3.若二次型 f(x1,x2,x3)的规范形为 y12?y2值.
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4实二次型定性判别
实二次型的标准形显然不是唯一的，只是标准形中所含正负平方项的项数是确定的，即正，负惯性指数是确定的．故对于任意实二次型，若不考虑前后顺序则其规范形是唯一，故我们有以下定理．
定理11 设二次型f(x)?xTAx，它的秩为r．若有两个可逆变换x?Cy及x?Pz使
f?k1y12?k2y22????kryr2及
(ki?0,i?1,2,???,r) ，
f??1z12??2z22??????rzr2(?i?0,i?1,2,???,r)，
则k1,k2,???kr中正数的个数与?1,?2,????r中正数的个数是相等的．从而其中负数个数也是相同的．
这个定理称为惯性定理（证明略）． 由以上惯性定理很容易推出以下结论：
推论1 设f(x)?xTAx的秩为r，则其规范形一定可以表示为
f?y12?y22?????yp2?yp?12?????yr2?0?????0．
实二次型的定性是根据其函数值的符号来定义的.
定义10 设有二次型f(x)?xTAx，A为实对称矩阵，
TT① 如果对任何x?0都有f(x)?xAx?0成立，则称f(x)?xAx为正定二次型，矩阵A称为正定矩阵．记作f?0及A?0．
② 如果对于任何x?0都有f(x)?xAx?0成立，则称f(x)?xAx为负定二次型，矩阵A称为负定矩阵．记作
TTf?0及A?0．
例15 设f?x12?2x1x2?2x22?x32，判断f
的正定性．
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