④ ??,???0，??,???0当且仅当??0； ⑤ ??,??２???,????,??.（这个不等式称为施瓦茨(Schwarz)不等式）
证明略．
（2）向量的长度 定义4
令
?＝??,???a?a???a?21222n??ai?1n2i，
称
．其中a1,a2,?,an为n维实向量?的n个分量． ?为n维实向量?的长度（或范数、模、模长）向量长度具有以下性质： ①
（非负性） ??0，??0当且仅当??0；
；（齐次性） ? （k?R）
② k??k?③
（三角不等式） ???????；
④ 对于n维向量?，?有，??,???证明略．
当
??．
??1时，称?为单位向量．
1??是一个单位向量，因为 11对于Rn中的任一非零向量?，有
??故称
?????1.
11??为非零向量单位化公式，即任一非零实向量?都可以利用
??化为一个单位向量．
（3）向量的夹角 定义5
当??0,??0时，令
??arccos称?为n维非零实向量?与?的夹角． 例7 设???32解 由
??,??,(0????)
??21?,???1513?，求?与?的夹角?．
TT????,???32，????,???6??,???18，得
11
??arccos??,?????arccos1832?6?arccos2??． 24（4）向量的正交性 定义6
若两实向量?与?的内积是零，即??,???0，则称?与?正交.
显然，若??0，则?与任意实向量都正交．
定义7
若n维实向量组?１,?２,?,?r都是非零向量且两两正交，即
，有(?i,?j)?0， ?i?0 (i?1,2,?,r)，且?i?j（i,j?1,2,?,r）
则称?１,?２,?,?r为正交向量组．
?1??0??0???????01?????0? 例如，Rn中的?１??0?，?２??0?，?，?n????是一个正交向量组．
???????????0????0??1??0???????下面讨论正交向量组的性质.
定理3
量组．
若n维向量组?１,?２,?,?r为一个正交向量组，则?１,?２,?,?r线性无关，即正交向量组一定是线性无关向
证 设有k1,k2,?,kr?R使得
k1?1?k2?2???kr?r?0.
用?１左乘上式两端，得
Tk1?1?1?k2?1T?2??kr?1T?r?0，
Ｔ由于?１,?２,?,?r为正交向量组，故?１?１?0，?１?j?0(2?j?r)．即有
Ｔk1?１?１?0，
ＴT
即得k1?0．同理可证k2?k3???kr?0．于是?１,?２,?,?r线性无关．
注：① Rn中任一正交向量组的向量个数不超过n；
② 若向量组?１,?２,?,?r两两正交且都为单位向量，则称这样的正交向量组为规范正交向量组．
?1??2?????3例8 已知R中的两个向量：?1??2?，?2???1?正交，试求一个非零向量?３使?１,?２,?３为正交向量组．
??1??0????? 12
T??１?解 由题意可知：???0，???0 即 ?T??3?0.
??2?Ｔ１3Ｔ２3记
??1T??12?1???， ?A?????T????2??2?10?则A?３?0，即可取齐次线性方程组Ax?0的一个非零解作为?３．
由
21?r1?r2?10?2?1?2?1??????????1?15?5?，
A????2?2r1??r?????????2?2?2??2?10??0?5?r2?01??5?5?得基础解系
?15???１??25??，
?1???取?3??1即可．
定义8 设V(?R)是一个向量空间，
n① 若?１,?２,?,?r是向量空间的V的一个基，且两两正交，则称?１,?２,?,?r为向量空间V的一个正交基． ② 若e1,e2,?,er是向量空间V的一个基，同时满足e1,e2,?,er两两正交，且都是单位向量，则称e1,e2,?,er为V的一个规范正交基（或标准正交基）．
?1??0??0???????3例如，e1??0?，e2??1?，e3??0?为R的一个规范正交基．
?0??0??1????????1??0??0???????01?????0?n推广，n维单位向量组?1??0?，?2??0?，?，?n????为R的一个规范正交基．
?????????????0??0??0??1???????若e1,e2,?,er为V的一个规范正交基，那么V中的任一向量?能由e1,e2,?,er惟一线性表示，即存在惟一的
?1,?2,?,?r，使得
???1e1??2e2????rer.
则(?1,?2,?,?r)为向量?在规范正交基e1,e2,?,er下的坐标，且
13
?i?eiT???ei,??，(i?1,2,?,r)．
因此，在求向量空间的基时，往往求一个规范正交基．
（5）求规范正交基的方法
设?１,?２,?,?r是向量空间V的一个基，要求V的一个规范正交基，相当于求一组两两正交的单位向量
e1,e2,?,er，使它与?１,?２,?,?r等价．我们将这样的一个问题称为线性无关向量组?１,?２,?,?r的规范正交化．
规范正交化可由以下正交化和单位化两个步骤完成. ① 正交化： 令?1??1，
?2??2? ?
??1,?2??1，
??1,?1???1，?r?????2,?r???????r?1,?r????1,?1?1??2,?2?2??r?1,?r?1?r?1，
?r??r?易验证?1,?2,?,?r两两正交，且?1,?2,?,?r与?１,?２,?,?r等价．
上述过程称为施密特正交化过程，它可以将任一线性无关的向量组?１,?２,?,?r化成与之等价的正交向量组
?1,?2,?,?r．
② 单位化：
令
e1?1?1?1，e2?1?2?2，?，er?1?r?r，
则e1,e2,?,er为V的一个规范正交基．
由以上①②步骤可以看出，施密特正交化过程可以将R中的任一线性无关的向量组?１,?２,?,?r化为与之等价的
n正交组?1,?2,?,?r；再利用单位化公式，令ei?1?i?i (i?1,2,?,r)，得到与?１,?２,?,?r等价的规范正交向量
组e1,e2,?,er．我们将以上二步称为正交规范化过程．在这一过程中，必须先正交化，再单位（规范）化．
注：R空间中任意n个线性无关的向量都可以作为R的一个基，且这个基一定可以通过正交规范化化成与之等价的R的一个规范正交基．
nnn（6）正交矩阵和正交变换. 定义9
T若n阶实方阵A满足AA?E，则称A为正交矩阵，简称为正交阵．
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例如
?2?2A???2???2由于
2??2?， 2??2?2???10?2????01???E，
?2???2???ATA?????故A为正交矩阵．
正交矩阵有以下重要性质：
2222?2??2??2??22??2???2??2T① A为正交矩阵? A为n阶实方矩阵且AA?E?A为n阶实方矩阵且AT?A?1；
T② 若A为正交矩阵，则A、A、A、A、?A也是正交矩阵； ③ 两个正交矩阵的乘积仍为正交矩阵； ④ 若A为正交矩阵，则A?1或?1．
?1*k定理4 A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量组（行向量组）是规范正交向量组．
T证 将A按列分块，设A?(?1,?2,?,?n).A为正交矩阵等价于AA?E，即等价于
(?1,?2,?,?n)T(?1,?2,?,?n)?E，即
???1??2??1T???T????1??2??2?(?,?，?，?n)＝??????12???T??T???n2?n1??T??n?即
T???i?i?1,i?1,2,?,n ?T???0,i?j;i,j?1,2,?,n??ijT故?1,?2,?,?n为规范正交向量组．（行向量的情况利用AA?E可以类似证明）
T1T2T1T2?????10???n??01?????n??E?????????????T?n?n???0???T1T2?0????????? ?0?01??定义9
设P为正交矩阵，称线性变换y?Px为正交变换．
设y?Px为正交变换，则有y?yTy?(Px)T(Px)?xTPTPx?xT(PTP)x?xTEx?xTx?x．
这说明正交变换不改变向量的长度，这是正交变换的优良特性所在．
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