圆锥曲线的几何性质
【目录】
2. 圆锥曲线的基本性质
2.1 圆锥曲线的顶点和轴 2.2圆锥曲线的准线 2.3圆锥曲线的焦点
2.4双曲线的渐近线
2.5圆锥曲线上点的坐标的取值范围 2.6圆锥曲线的通径 2.7 圆锥曲线的对称性 2.8 焦点三角形
2.9求圆锥曲线的离心率与范围 2.10借助圆锥曲线的定义求离心率
2.11代点法构造关于a、c的齐二次式方程求离心率 2．12 利用圆锥曲线的常见的几何性质建立不等关系
2.13 利用条件中已知的等量关系建立齐次方程求离心率 2.14利用焦点三角形的外接圆的圆周角判断离心率取值范围
2.圆锥曲线的基本性质 2.1 圆锥曲线的顶点和轴
【例1】中心在原点的双曲线，一个焦点为F(0，3)，一个焦点到最近顶点的距离是3?1，则双曲线的方程是（ ）
x2y2y2x2222?1 B．x??1 C．x?A．y??1 D．y??12222
2A【解析】双曲线的焦点到最近顶点的距离为c-a，又c=3 ，故a=1，且焦点在y轴上.
【变式1】由圆锥曲线的特征量a,b,c的关系列方程
已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________.
x2y2??1【解析】由题意，知a=3，且2c:2b=5:4，结合a2+b2=c2，解得a=3,b=4. 916【变式2】根据几何图形的性质列方程
x2y2
（2014四川）已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正
ab三角形，则椭圆C的标准方程为
3x2y2
?2b＋＝1【解析】由题意知，a=622
3b ,又2c=4,且a-b=c，解得a2222=6,b2=2
1
【变式3】已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．
x2y2??1 【解析】c=23，且2a=4b，又a2-b2=c2，则a2=16,b2=4 164【变式4】利用图形的对称性
1x2y2若椭圆2?2?1的焦点在x轴上，过点(1,)作圆x2?y2?1的切线，切点分别为A，B，直
2ab线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .
1x2y2o，且点(1,)与圆心的连线和OA所成的角为30，由圆+=1 【解析】显然切点A为（1，0）
243的切线性质知，OB与x轴正方向所成的为60，故B(,2o132)，所以直线AB的方程为y=-3(x-1)，因
此，b=3,c=1，a2=b2+c2=4.
2.2圆锥曲线的准线
1
【例2】（2014安徽）抛物线y＝x2的准线方程是( )
4A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2
1
【解析】因为抛物线y＝x2的标准方程为x2＝4y，所以其准线方程为y＝－1.故选A.
4
【变式1】利用圆锥曲线的标准方程求相关的特征量或特征线方程
（2014辽宁）已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF 的斜率为( )
431A．－ B．－1 C．－ D．－ 342
C【解析】由点A(－2，3)在准线x=-p3上知p=4，则焦点为F(2,0)，故kAF=-.
24x2y2【变式2】设F1,F2 分别为双曲线2-2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在一点P，
ab22使得(|PF1|-|PF1|)=b-3ab ，则此双曲线的离心率为 .
17【解析】由双曲线的定义，得4a2=b2-3ab，解得b=4a，则c=17a，故e=17 .
【变式3】（2015天津）已知双曲线2?2?1?a?0,b?0? 的一条渐近线过点2,3 ，且双曲线
ab的一个焦点在抛物线y2?47x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）
x2y2?? 2
x2y2x2y2x2y2x2y2（A）?1 （C）???1 （B）??1 （D）??1
28212128344343x2y2D【解析】点2,3满足2?2?0，即2?2；又由c=ababa2=4,b2=3.
??7且c2=a2+b2，解得
2.3圆锥曲线的焦点
【例3】（2014全国卷Ⅰ）已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A.3 B．3 C.3m D．3m
xyb
【解析】易知双曲线2－2＝1的渐近线方程是y＝±x，则焦点到渐近线的距离为
abax2y2
x－my＝3m(m>0)即为－＝1,故选A.
3m3
2
2
2
2
bca2?b?＋1?a?＝b,而C：
x2y2
【点评】双曲线2－2＝1的焦点到渐近线的距离为b，在解答选择填空题时可以直接利用该结论，提
ab高解题速度.
【变式1】双曲线的特征量a,b,c满足a+b=c
222x2y22已知双曲线2?2?1的一个焦点与抛物线y?4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该ab双曲线的方程为 ．
2?1.
5y25x??1【解析】a2+b2=1，且c=425a，故a=215,b=245，即双曲线方程为5x?25y4【变式2】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|?（ ）
A、22 B、23 C、4 D、25 B 【解析】设抛物线方程为y?2px，则点M(2,?2p)得p?2，所以OM?4?4?2?23.
2Q MF?3，?
p(2?)2?4P?9， 解
2x2y2【变式3】椭圆2?2?1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，
ab|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为__________.
3
5【解析】由椭圆的性质可知：AF1?a?c，F1F2?2c，F1B?a?c.又已知AF1，F1F2，F1B5成等比数列，故(a?c)(a?c)?(2c)2，即a2?c2?4c2，则a2?5c2.故e?c5.即椭圆的离心率为?a55. 5x2y2
【变式4】(2014全国卷)双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，
ab则C的焦距等于( )
A．2 B．2 2 C．4 D．4 2
c
C 【解析】易知b＝3.又离心率e＝＝2，c2＝a2＋b2，所以c＝2，故双曲线C的焦距等于4.
a2.4双曲线的渐近线
x2?y2?1的渐近线方程是 ． 【例4】（2015浙江）双曲线2【解析】a?2，b?1，c?a2?b2?2?1?3，∴焦距为2c?23，
渐近线方程为y??2x.
2【点评】双曲线2-2=m(m?0)的渐近线?ababx2y2xy0.即焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是
bbb，即x??y. y??x；焦点在y轴上双曲线的渐近线方程是y??x，其实从变换角度看方程则“一致”
aaax2y2【变式2】若双曲线2?2?1的离心率为3，则其渐近线方程为
aby=?2x【解析】由c=3a,a2+b2=c2得b2=2a2，故所求渐近线方程为y=?2x.
【变式3】利用圆锥曲线的特征线的对应性
x2（2015年北京理）已知双曲线2?y2?1?a?0?的一条渐近线为3x?y?0，则a? a ．
3x2211 【解析】双曲线又知一条渐近线为3x＋y＝0，所以2－y＝1(a>0)的渐近线方程是y＝±x，3aaa＝3，3
解得a＝3.
【变式4】渐近线求法一：双曲线
xa22-yb22=m(m?0)的渐近线
xa?yb0
（2015·安徽卷理）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )
2
y2x22y222xA．x－＝1 B.－y＝1 C.－x＝1 D．y－＝1 4444
2
4
C 【解析】逐项验证或由渐近线方程，设双曲线方程为(y+2x)(y-2x)=m(m>0) ，知m=4时，符合.
x2y2x2y2
【例5】（2014山东）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为2＋2＝1，双曲线C2的方程为2－2＝1，C1
abab与C2的离心率之积为
3
，则C2的渐近线方程为( ) 2
A. x±2y＝0 B. 2x±y＝0 C. x±2y＝0 D. 2x±y＝0
a2－b2a2＋b2a2－b2a2＋b2【解析】椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝.由e1e2＝·＝aaaab?
1－??a?×A.
【变式1】渐近线求法二：定焦点位置，确定a,b的关系
x2y2
（2015重庆）设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2
ab的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
12
A．± B．± C．±1 D．±2
22
b2
C 【解析】由题意，得A1(－a，0)，A2(a，0)，F(c，0)．将x＝c代入双曲线方程，解得y＝±.不妨
ab2b2b2b2
－－
aaaab2b2b
设Bc，，Cc，－，则kA1B＝，kA2C＝，根据题意，有·＝－1，整理得＝1，所以
aaac＋ac－ac＋ac－a该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.
【例6】设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60的直线A1B1和A2B2，使A1B1?A2B2，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A.(2
b?3?b?＝1，所以b＝2，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±2x.故选1＋?＝，解得?a??a?22a22
2
2
23,2] 3B. [232323,2) C. (,??) D. [,??) 333x2y2【解析】设双曲线的方程为2?2?1(a?0,b?0)，由双曲线的对称性知，
abA1B1?2|O1A|,A2?B22|，O2A|OA?故|2，|即直线1|OAA1B1与A2B2关于坐标轴对称，易得
tan30?b13b23≤tan60，即?≤3，平方得?e2?1≤3，解得?e≤2，故选A. a33a3【评注】渐近线所成角的度数有两个，不同于夹角 【变式1】用渐近线代替双曲线描述位置关系
x2y2已知过双曲线c：2?2?1(a?0,b?0)的右焦点且斜率为1的直线与双曲线c的左右两支各有一
ab个交点，则双曲线离心率的取值范围是 。
5