e>2【解析】由题意只需双曲线的渐近线y?bx的斜率满足abc2?a2?1??1?e2?2?e?2。 2aax2y2【变式2】已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，若过F且倾斜角为600的直线与双曲
ab线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是__________.
[2,??) 【解析】双曲线的渐近线的斜率
2.5圆锥曲线上点的坐标的取值范围
b?tan60?3，即c2?a2?3a2，从而e?2. ax2
【例7】（2014福建）设P，Q分别为圆x＋(y－6)＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的
10
2
2
最大距离是( )
A．52 B.46＋2 C．7＋2 D．62
【解析】设圆心为点C，则圆x2＋(y－6)2＝2的圆心为C(0，6)，半径r＝2.设点Q(x0，y0)是椭圆上x2022
任意一点，则＋y20＝1，即x0＝10－10y0， 10
∴|CQ|＝210－10y20＋（y0－6）＝
－9y20－12y0＋46＝
2
y0＋?＋50， －9?3??
2
2
当y0＝－时，|CQ|有最大值52，
3
则P，Q两点间的最大距离为52＋r＝62.故选D.
x2y2
【评注】在设椭圆2＋2＝1 (a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，要注意椭圆的范围应满足|x|≤a，在求与
ab点P有关的最值问题中特别有用，造成定义域扩大而导致最值求解错误.
x2y2??1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则【变式1】若点O和点F分别为椭圆43OPFP的最大值为( )
A．2
B．3 C．6 D．8
C 【解析】设P(x，y)，则-2＃xuuuruur2 ，OP?FPx21x(x-1)+y=x-x+3(1-)=x2-x+3 4422uuuruur在区间[-2,2]上递减，故OP祝FP26.
y2【变式2 】已知双曲线x??1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1?PF23最小值为 ．
设P(x,y)，则x?1，且PA1?PF2?(?1?x)(2?x)?(?y)2?4x2?x?5递增，故PA1?PF2??2. ?2 【解析】
6
【变式3】设点M是抛物线x2?4y上一动点，则点M到直线x?y?3?0的距离的最小值为 ．
|x-y-3||x2-4x+12|(x-2)2+82 【解析】设M(x,y)，则距离d===?242422 .
x2【变式4】若点O和点F分别为椭圆?y2?1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则
2OP?PF的最小值为 .
222x22 【解析】设P?x,y?，又 y?1?，可得OP?PF??x?1??2．因为?2?x?2，2222所以当x??1时，OP?PF有最小值为2．
2.6圆锥曲线的通径
【例8】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A．
223223 B． C． D． 3322b2【解析】（法一：）由条件易知AF1?，F1F2?2c，又△ABF2是正三角形，故有
ab223?2c，即3?a2?c2??2ac，所以有3c2?2ac?3a2?0，故有3e?2e?3?0，a解得e?3，故选A. 314AF2?2a, AF2?a.23（法二：）由椭圆定义易知△ABF2的周长为4a，又△ABF2是正三角形， AF2?所以有F1F2?334a23ac3，所以选择A AF2????2c，e??2233a3【点评】通过圆锥曲线的焦点与焦点所在的轴垂直的弦称为圆锥曲线的通径，对于椭圆和双曲线而言，
2b2通径长都是.若题目条件与通径相关，可以通过通径构建关系求离心率.
ax2y2【变式1】已知抛物线y=2px(p>0)的焦点F与双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一焦点重合，
ab2且两曲线交点的连线过点F，则此双曲线的离心率为 .
p2b22+1【解析】由题意知，两曲线的通径长相等，即2p=，又=c=2a
a2+b2，化简得，
7
c4-6a2c2+a4=0，即e4-6e2+1=0，解得e=3+22=2+1.
【变式2】通径被焦点所在的轴垂直平分
x2y2
（2014江西）设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于
ab
A，B两点，F1B与y轴相交于点D.若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．
3
【提示】由条件先判定?ABF1为等边三角形，再求离心率. 3
【变式3】过椭圆的一个焦点F2作垂直于长轴的弦PQ，F1是另一焦点， 若?PF1Q?的离心率e等于（ ）
A．2?1 B．?2，则椭圆
2 C．2?2 D．2?1 22b2D【解析】由题意知，通径长=2?2c，故c2-a2=2ac，e=aA．4条 B．3条 C．2条 D．1条
2-1.
【例9】过双曲线2x2－y2=2的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有( )
【解析】过双曲线右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若l⊥x轴，则AB为通径，其长为|AB|＝4，此时只有一条；若l经过顶点，此时|AB|＝2，因此当l与双曲线两支各交于一点A、B时，满足|AB|＝4的直线有两条，故选B.
【评注】椭圆与抛物线的通径是过焦点的最短弦；双曲线过焦点的最短弦为通径或实轴.
x2y2【例10】已知椭圆??1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三
94角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为
【解析】本题可能的情况有：
1b24（1）P是直角三角形的直角顶点。btan??2c?d, d? tan45=5；22c52?94a29（2）F1或F2是直角三角形的一个顶点。半通径d??。则点P到x轴的距离为或5.
25b2【评注】本题一般是利用椭圆和双曲线的定义以及正、余弦定理，分P是直角三角形的直角顶点和F1或F2是直角三角形的一个顶点两种情况处理。但是，P是直角三角形的直角顶点时，因为?F1PF2?90，点P在以O为圆心，C为半径的圆上，当圆与椭圆不相交，在椭圆上也就找不到P，因此该种情况不存在。因此要比较圆饿半径C和短轴b的大小。本题c?5?b?2，在椭圆上存在两个符合条件的P，因此答
x2y2??1，c?1?b?22，上述解法就应该调整了，答案就不是两案是两个。如果将方程改为椭圆98个了。类似地，双曲线也应该具有同样的性质。
8
x2y2 【变式1】若直线y?2x与椭圆2?2?1?a?b?0?的一个交点P在x轴上的射影恰好为此椭圆
ab的右焦点,则此椭圆的离心率为（ ）
A. 2?1 B.3?1 C.12 D.
22b2A 【提示】PF1是通径的一半，?2c，a2?c2?2ac，解得e?a2?1.
x2y2【变式2】已知点F1，F2分别是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点，过F1且垂直于x 轴
ab的直线与双曲线交于A，B两点，若?ABF2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A．(2?1,??) B．(3?1,??) C．(1?2,??) D．(1,1?2)
b2?2c，即C 【提示】由题设条件可知?ABF2为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角即可，∴有 ab2?2ac，∴c2?a2?2ac，解得e?1?2，选C.
x2y2【变式3】已知F1、F2分别是双曲线2?2?1(a＞0,b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直
ab线与双曲线交于A、B两点，若?ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
???2?21,1?1?,+?A．? B．? C．1,1?2 D．1+2,+? ??????2?2???????C 【解析】?ABF2是锐角三角形，且为等腰三角形，故?AF2O2.7 圆锥曲线的对称性
b245，即<2c，即e
x2y2【例11】（2015福建）已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F．短轴的一个端点为M，
ab直线l:3x?4y?0交椭圆E于A,B两点．若AF?BF?4，点M到直线l的距离不小于的离心率的取值范围是（ ） A． (0,4，则椭圆E53333,1) D．[,1) ] B．(0,] C．[4422【解析】 因为直线l过原点，不妨设A在第一象限，左焦点为F′，由对称性可知四边形AF′BF为平|0－4b|4
行四边形，所以|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a＝4，所以a＝2，点M(0，b)到直线l的距离d＝≥且b
55a2－b24－b23c
]. 所以1≤b<2，所以椭圆的离心率e＝＝＝∈(0,aa22
9
【评注】椭圆和双曲线既具有对称轴又具有对称中心，在解答相关问题时要注意对称性的应用，利用对称性对相关的长度、点的坐标、角度等进行转化，这样可以起到简化运算的作用.
x2y2【变式1】已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接
abAF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=
4,则C的离心率为 ( ) 53546A. B. C. D. 57571|AB|?5.2设椭圆右焦点为F?，由对称性，BF??AF?6，∴2a?BF?BF??14. 故a?7，
B 【解析】可以判定三角形ABF是直角三角形，AF⊥BF，故有c?|OF|?因此离心率e?c5?.故选B. a7x2?y2?1的左右顶点分别为A1，A2，直线l:x?8与x轴交于点T0，T为【变式2】已知椭圆C:4l上异于T0的任意一点，直线TA1，TA2分别与椭圆C交于M，N两点，则直线MN恒过定点 2.8焦点三角形
x2y2【例12】已知椭圆右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，则S?FPF? ??1的左、?F1PF2?60，
1294222【解析】（方法一）设PF1?m,PF2?n，根据定义，m?n?2a (2c)?m?n?2mncos60，
得到mn?16143. . S?FPF=mnsin60=123232222b2（方法二） m?n?2a，4c?m?n?2mncos?，解得，mn?，
1?cos?12S?F1PF2=mnsin?=
12bsin?=
21?cos?2b22sin?242=b2tan?.故S?4?tan30?3. ?F1PF2?322cos22cos?x2y2 【点评】设点P是2?2?1(a?b?0)上一点，F1,F2为其左右焦点，设?F1PF2??，
ab2则：S?PF1F2?btan?22。双曲线有S?PF1F2?bcot?2
y2x2
【变式1】F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，M是双曲线上一点，且|MF1|·|MF2|＝32，则△F1MF2
916
的面积为 __________
16 【提示】先由条件判断△F1MF2为直角三角形，再求解面积.
x2y2【变式2】设F1,F2是双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点，P是C上一点，若
ab
10