【评注】椭圆上的张角?F1PF2有最大值，当时P在短轴的顶点处时，张角最大，利用该条件可以求解与椭圆张角有关的离心率范围问题.
x2y2【变式1】已知P是椭圆2?2?1(a?b?0)上的一点，椭圆长轴的两个端点为A、B，若
ab?APB?120?，则该椭圆的离心率的取值范围是_________.
[6,1) 【提示】设Q是椭圆的短轴的一个端点，则?AQB??APB?120?，于是?AQO?60?，36,1). 3∴a?3b，即a2?3(a2?c2)，∴椭圆的离心率e?[x2y2【变式2】已知椭圆2?2?1(a?b?0)的焦点分别为F1,F2，若椭圆上存在一点P，使得
ab?F1PF2?60,则椭圆离心率的取值范围是 【解析】当P为椭圆短轴的顶点B时，?F1PF2最大。根据条件可得?F1PF2?60，易得故
c1?，a21?e?1。 2x2y2【评注】若点P为椭圆2?2?1(a?b?0)上任一点，F1,F2为椭圆的左，右焦点，点B为椭圆
ab短轴的一个顶点，则有0??F1PF2??F1BF2。
证明：在PF1F2中，由余弦定理得cos?F1PF2?PF1?PF2?F1F22PF1PF2222?
1(PF1?PF2)2?F1F221(PF1?PF2)22顶点重合时?F1PF2最大。
2a2?2c2，当且仅当PF等号成立，即当P与椭圆的短轴?1?PF2时，2a【变式3】构造辅助圆，直观判断特征量关系
M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1?MF2?0的点
围是（ ）
A．(0,1) B．(0,] C．(0,1222) D．[,1) 22C 【提示】由已知得以线段F1F2为直径的圆在椭圆的内部，从而
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12 b?c?b2?c2,a2?c2?c2?a2?2c2,e2??0?e?22x2y2【变式4】已知P是以F1,F2为焦点的椭圆2?2?1(a?b?0)上一点，若?F1PF2为钝角，则该
ab椭圆的离心率的取值范围是_________.
[
2,1) 【提示】构造以F1F2为直径的圆，则由题意知，上下顶点必在圆内，即b