PF1?PF2?6a,且?PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为___ .
不妨设PF则PF3 【提示】1?PF2，1?PF2?2a,PF1?PF2?6a,得PF1?4a，PF2?2a，
02220F1F2?2c，从而得到?PF1F2?30由余弦定理得(2a)?(4a)?(2c)?2(4a)(2c)cos30，整理得
(e?3)2?0，所以e?3.
x2y2【例13】已知椭圆右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，?F求S?FPF. ??1的左、1PF2?60。1294解析：设PF1?m,PF2?n，根据定义，m?n?2a，平方得m?n?2mn?36①；在?F1PF2中，根据余弦定理，得(2c)2?m2?n2?2mncos60，即m?n?mn?20②。①-②，得mn?面积公式，得S?FPF=
12222216。根据314mnsin60=3。 23【评注】我们可以利用椭圆和双曲线的定义以及正、余弦定理，上述问题可以一般化，即m?n?2a，
12b22b212b2sin??。S?FPF=mnsin?== 4c?m?n?2mncos?，解得，mn?1221?cos?2cos2?21?cos?2222b22sincos22??xy2222=btan。因此，椭圆?btan焦点三角形面积：，?1(a?b?0)S??F1PF222?22ab2cos22??b2tan高h?22?22；类似地，双曲线x?y?1(a,b?0)焦点三角形面积：Sbcot，高??F1PF2222cab?b2coth??2。其中，F,F是焦点，P是曲线上的动点，?FPF??，高h是FF边上的高。
121212y2x2=1上的一点，F1和F2是焦点，且 ?54c【变式1】如图所示，点P是椭圆
∠F1PF2=30°,则△F1PF2的面积为（ ）
A．8?43 B．8?43 C．6?23 D． 6?23 B【解析】在椭圆
y2x2=1中，a=5,b=2．∴c=a2?b2=1． ?54又∵点P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a=25．①
由余弦定理知：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30°=|F1F2|2=(2c)2=4． ② ① 式两边平方得：|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=20， ③ ③-②得（2+3）|PF1|·|PF2|=16，∴|PF1|·|PF2|=16（2-3），
11
∴S?PF1F2=|PF1|·|PF2|sin30°=8?43．故选B. 【变式2】利用双曲线的定义求焦点三角形的面积
x2y2F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，M是双曲线上一点，且|MF1|·|MF2|＝32，则△F1MF2的面积为______．
1691216【解析】由题意可得双曲线的两个焦点是F1(0，－5)、F2(0,5)，由双曲线定义得：||MF1|－|MF2||＝6，联立|MF1|·|MF2|＝32得|MF1|2＋|MF2|2＝100＝|F1F2|2，所以△F1MF2是直角三角形，从而其面积为S＝1|MF1|·|MF2|＝16.. 2【变式3】 （2013新课标Ⅰ文8）O为坐标原点,F为抛物线C:y2?42x的焦点,P为C上一点,若|PF|?42,则?POF的面积为（ ）
A．2 B．22 C．23 D．4
＝42，
C【解析】由y2?42x知：焦点F(2，0)，准线x＝－2.设P点坐标为(x0，y0)，则x0＋21∴x0＝32，∴|y0|＝26，∴S△POF＝×2×26＝23.故选C.
2x2y2【变式4】双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左右焦点为F1，F2,P是双曲线右支上一点，满足条件PF2?F1F2,
ab直线PF1与圆x2+y2?a2相切，则双曲线的离心率为（ ）
2255A. B.3 C. D.
343D【解析】在焦点三角形PF1F2中，由定义，PF2=F2F1=2c,PF1?2a?2c, 由O到直线PF1的距离为a,故?PF1F2
5底边上的高为2a,由勾股定理有(a?c)2?4a2?4c2，解得：e?.
3x2y2【例14】椭圆2?2?1焦点三角形的周长2a?2c
abx2y2已知椭圆??1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，求三角形F1PF2 的周长。
94【解析】根据椭圆定义，三角形F1PF2 的周长等于2a?2c?6?25。
x2y2【点评】椭圆2?2?1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，根据定义，PF1?PF2?2a
abF1F2?2c，所以三角形F1PF2 的周长等于2a?2c，显然椭圆的“焦点三角形”的周长是定值。
x2y2??1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P,F1,F2是一个【变式1】（2001上海）设F1,F2为椭圆94直角三角形的三个顶点，且|PF1|?|PF2|，求
|PF1|的值. |PF2| 12
【解析】当PF1为斜边时，此时|PF1|?PF2?F1F2，
144|PF|7若F1F2为斜边时，PF1?PF2，,|PF2|?，1?；
|PF|2332此时|PF1|?4,|PF2|?2，
|PF1|?2. |PF2|x2y2【变式2】（2004湖北）已知椭圆??1的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，若P、F1、
169F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为
（A）
9 52（B）3 （C）
2297 7（D）
9 4【解析】c?7，c?b，以F1F2为直径的圆x2?y2?c2内含于椭圆，?F1PF2小于直角，只能
b29?. 有PF1?F1F2或PF2?F1F2，此时点P到x轴距离为
a42.9求圆锥曲线的离心率与范围
x2y2
【例15】（2015湖南）若双曲线2－2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
ab
7545A. B. C. D. 3433
bb4
【解析】由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，点(3，－4)在渐近线上，故＝，又a2＋b2＝c2，
aa3
1625c5
∴c2＝a2＋a2＝a2，∴e＝＝，选D.
99a3
【评注】圆锥曲线的离心率的定义式有四种变化：e?c2cPF;e?;e?cos?BFO，e?（其中da2ad表示P到F对应准线的距离），结合圆锥曲线的第一定义和统一定义，就会生出许多变化，解题时要根据题目的条件灵活选择．
【变式1】用离心率的定义求离心率
y2?1的离心率是 若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x?m2( )
A．3 2B．5 C．3或5 2D．35 或222y2?1，C【解析】∵m是2和8的等比中项，∴m?16，∴m??4，当m?4时，圆锥曲线为椭圆x?42y232?1，离心率为5，∴综上选C． 离心率为，当m??4时，圆锥曲线为双曲线x?42【变式2】(2014北京理19(1))已知椭圆C：x?2y?4.求椭圆C的离心率.
13
222x2y22【提示】将方程化为标准式：＋＝1，求出e＝. 2422
x2y2【变式3】(2014福建理19（1）)已知双曲线E:2?2?1(a?0,b?0)的两条渐近线分别为
abl1:y?2x,l2:y??2x. 求双曲线E的离心率.
b
5【提示】依题意得=2，求得e＝5.
a
2.10借助圆锥曲线的定义求离心率
x2y2【例16】如图，F1和F2分别是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，
ab以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） （A）3
（B）5
（C）
5 2（D）1?3
x2r2【解析】如图，F1和F2分别是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点，A和
abB是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边
三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=3c，∴ 2a?(3?1)c，双曲线的离心率为1?3，选D。
【点评】当题目条件与圆锥曲线的定义有关时，应该充分利用圆锥曲线的定义寻找a与c的关系，进而寻找离心率.
【变式1】以椭圆的两个焦点连线所成的线段为直径的圆，交椭圆于四个不同的点，若连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为（ ）
A．23 B． C．3?1 D．1?3 22C 【提示】由正六边形的几何性质，知点(北,c23c)在该椭圆上. 2x2y2
【变式2】设P为椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上一点，F1、F2为其左右焦点，如果∠PF1F2＝15°，∠PF2F1
ab
＝75°，则椭圆的离心率为 ( )
2326 B． C． D． 2233D【解析】由题意得2a?PF1?PF2?2c(sin75??sin15?)?22csin60?，∴椭圆的离心率
A．e?
6．选D． 314
【评注】运用第一定义本质上求2a，在焦点三角形PF2F1(特别是直角三角形)中，联系椭圆的第一定义，由正弦定理很易联系a与c的关系，进而求得离心率
x2y21→→【变式3】已知P是以F1,F2为焦点的椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上一点，且PF1· PF2=0,tan∠PF1F2＝，
ab2
则该椭圆的离心率为_________．
355【提示】由题意得2a?PF1?PF2?2c． ,∴椭圆的离心率e?335x2y2【变式4】已知点P是双曲线C1:2?2?1(a?0,b?0)和圆C2:x2?y2?a2?b2的一个交点，且
ab2?PF1F2??PF2F1，其中F1,F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为______．
3?1【提示】显然圆C2过双曲线的两个焦点，故?F1PF2?90?，又2?PF1F2??PF2F1，∴
?PF1F2?30?，∴2a?PF1?PF2?2c(cos30??sin30?)，∴双曲线的离心率e?3?1．
x2y2【变式5】椭圆Γ: 2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=3?x?c?ab与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 .
3?1 【提示】∠MF1F2是直线的倾斜角,所以∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°,所以△MF2F1是直角三
角形,在Rt△MF2F1中,|F2F1|=2c,|MF1|=c,|MF2|=3c, e?2c2c2???3?1. 2a|MF1|?|MF2|3?1x2y2
【变式6】（2015重庆） 如图所示，椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为
abF1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1，若|PF1|＝|PQ|，则椭圆的离心率e为
6－3 【提示】如图，由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，得|QF1|＝4a－2|PF1|.
又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝2|PF1|，得|PF1|＝2(2－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a.
由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此
|PF1|2＋|PF2|2c
e＝＝＝（2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－3. a2a2.11代点法构造关于a、c的齐二次式方程求离心率
x2y2【例17】（2015年湖南）设F是双曲线C：2?2?1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PFab的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 .
【解析】由已知，令F(－c，0)，虚轴的一个端点B(0，b)，B恰为线段PF的中点，故P(c，2b)．又c24b2c
P在双曲线上，代人双曲线方程得2－2＝1，即e＝＝5.
aba
【点评】在求解圆锥曲线的离心率时，若已知曲线上点的坐标，可以将点的坐标代入方程，得到关于
15