黄冈中学内部资料
复习目标: 1．掌握分类讨论必须遵循的原则 2．能够合理，正确地求解有关问题 命题分析:
分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.
重点题型分析: 例1．解关于x的不等式:x2?a3?(a?a2)x(a?R)(黄冈，二模 理科） 解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a)<0 （下面按两个根的大小关系分类）
222
（1）当a>a?a-a<0即 00即a<0或a>1时，不等式的解为:x?(a, a2)
2222
（3）当a=a?a-a=0 即 a=0或 a=1时，不等式为x<0或(x-1)<0 不等式的解为 x??.
2
综上，当 0
2
当a<0或a>1时，x?(a,a) 当a=0或a=1时，x??.
评述:抓住分类的转折点，此题分解因式后，之所以不能马上写出解集，主要是不知两根谁大谁小，那么就按两个根之间的大小关系来分类.
例2．解关于x的不等式 ax2+2ax+1>0(a?R) 解:此题应按a是否为0来分类.
（1）当a=0时，不等式为1>0, 解集为R. （2）a?0时分为a>0 与a<0两类
??a?0?a?0?a?02
①??????a?1时，方程ax+2ax+1=0有两
2????0?a(a?1)?0?4a?4a?02
根
x1,2??2a?4a?4a2a2??a?aa?a2??1?a(a?1)aa(a?1)a.
则原不等式的解为(??,?1? ②??a?0a(a?1)a)?(?1?,??).
??a?0?a?0?????0?a?1时，
2????0?0?a?1?4a?4a?0 方程ax2+2ax+1=0没有实根，此时为开口向上的抛物线，则不等式的解为（-?，+?）.
??a?0?a?0?a?0 ③ ??????a?1时，
2??0???a?0或a?1?4a?4a?0 方程ax2+2ax+1=0只有一根为x=-1，则原不等式的解为(-?,-1)∪(-1,+?).
1
④?a?0????a?0?a?0????a?0时，
???0??4a2?4a?0?a?0或a?1 方程ax2+2ax+1=0有两根，x?2a?a(a?1)1,2?2a??1?a(a?1)a
此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为:
(?1?a(a?1)a(a?1)a,?1?a).
⑤?a?0????a?0?a?0????a??
???0??4a2?4a?0?0?a?1综上:
当0≤a<1时，解集为（-?，+?）. 当a>1时，解集为(??,?1?a(a?1)a)?(?1?a(a?1)a,??).
当a=1时，解集为(-?,-1)∪(-1,+?).
当a<0时，解集为(?1?a(a?1)?1)a,?1?a(aa).
例3．解关于x的不等式ax2
-2≥2x-ax(a∈R)(黄冈，二模 理科）
解:原不等式可化为? ax2
+(a-2)x-2≥0, (1)a=0时，x≤-1，即x∈(-∞,-1]. (2)a?0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0. ① a>0时， 不等式化为(x?2a)(x?1)?0，
?a?0 当??,?1]?[22，即a>0时，不等式解为(??,??).
??a??1a?a?0 当??2，此时a不存在.
??a??1② a<0时，不等式化为(x?2a)(x?1)?0，
?a? 当?0??2，即-2
?a?0 当???2，即a<-2时，不等式解为[?1,2].
?a??1a?a? 当?0?2，即a=-2时，不等式解为x=-1.
??a??1综上:
2
a=0时，x∈(-∞,-1). a>0时，x∈(??,?1]?[2a,??).
-2
a<-2时，x∈[?1,2a].
a=-2时，x∈{x|x=-1}.
评述:通过上面三个例题的分析与解答，可以概括出分类讨论问题的基本原则为: 10:能不分则不分；
20:若不分则无法确定任何一个结果； 30:若分的话，则按谁碍事就分谁.
例4．已知函数f(x)=cos2x+asinx-a2
+2a+5.有最大值2，求实数a的取值.
解:f(x)=1-sin2x+asinx-a2+2a+5??(sinx?a2)2?324a?2a?6.
令sinx=t, t∈[-1,1]. 则f(t)??(t?a232)?4a2?2a?6(t∈[-1,1]).
(1)当
a2?1即a>2时，t=1，y3max??a?3a?5?2
解方程得:a?3?21212或a?3?2（舍）. (2)当?1?a22?1时，即-2≤a≤2时，t?a2,y3max??4a?2a?6?2,
解方程为:a??43或a=4（舍）.
(3)当
aymax=-a+a+5=2
2??1 即a<-2时， t=-1时，2
即 a2-a-3=0 ∴ a?1?132, ∵ a<-2, ∴ a??1?132全都舍去.
综上，当a?3?2142或a??3时，能使函数f(x)的最大值为2.
例5．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明:
log0.5Sn?log0.5Sn?22?log0.5Sn?1. 证明:（1）当q=1时，
Sn=na1从S22n?Sn?2?S2n?1?na1?(n?2)a1?(n?1)a1??a21?0
（2）当q≠1时，S1?qn)n?a1(1?q， 从而
a2nn?22 S1(1?q)(1?q)?a1(1?qn?1)2n?Sn?2?S2n?1?2??a2n(1?q)1q?0.
由（1）（2）得:S2n?Sn?2?Sn?1.
而3
∵ 函数y?logx0.5为单调递减函数.∴
log0.5Sn?log20.5Sn?2?log0.5Sn?1.
例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率. 分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解. 解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为一条渐近线的斜率为
ba?2， ∴ b=2.∴ e?ca?b?aa22(x?1)a5a522?(y?3)b22?1，
??5.
（2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为此时e?52ab?2，
.
52 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于5或.
评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.
a(1?x)例7．解关于x的不等式 5a(1?x)x?2?1?1.(黄冈2010，二模 理科）
解:原不等式 ?5
?a(1?x)x?2?1?0?x?2?1?5
0(1?a)x?a?2x?2?0?(x?2)[(1?a)x?(2?a)]?0
?1?a?0?1?a?0?1?a?0?? ?(1)?或(2)?或(3)?2?a2?a)?0)?0?(x?2)(1?2)?0?(x?2)(x??(x?2)(x?1?a1?a?? 由(1) a=1时，x-2>0, 即 x∈(2,+∞).
2?a?0，下面分为三种情况. 由(2)a<1时，
1?a?a?1?a?12?a?). ①?2?a 即a<1时，解为(2,??1?a?2?a?0??1?a?a?1? ②?2?a?2??1?a?a?1???a?0时，解为?. ?a?0?a?1?a?12?a?,2). ③ ?2?a ? ? 即01时，
2?a1?a的符号不确定，也分为3种情况.
4
?a?1?a?1? ①?2?a ? a不存在. ???2?a?0??1?a?a?1?a?12?a? ② ?2?a)?(2,??). ???当a>1时，原不等式的解为:(??,1?a?2?a?0??1?a综上:
a=1时，x∈(2,+∞).
2?a a<1时，x∈(2,)
1?a a=0时，x??.
2?a,2) 01时，x∈(??,1?a
评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤: 0
1:明确讨论的对象，确定对象的全体； 20:确定分类标准，正确分类，不重不漏； 0
3:逐步进行讨论，获得结段性结记； 40:归纳总结，综合结记.
课后练习:
21．解不等式logx(5x?8x?3)?2
2．解不等式|log12x|?|log13(3?x)|?1 ?0的解集为M.
3．已知关于x的不等式
ax?5x?a2（1）当a=4时，求集合M:
（2）若3?M，求实数a的取值范围.
4．在x0y平面上给定曲线y2=2x, 设点A坐标为(a,0), a?R，求曲线上点到点A距离的最小值d，并写成d=f(a)的函数表达式.
参考答案:
（，）?（，??）1. 25392.[，]
442133（??，2）?（，2）3. (1) M为
45 (2)a?(??,)?(9,??)
35??2a?1当a?1时4. d?f(a)??.
?当a?1时?|a|
5