n．
又a1＝2,所以，an＝2n．
∴Sn＝a1＋a2＋a3＋??＋an＝2(1＋2＋3??＋n)＝n2＋n． (Ⅱ)∵bn＝2
n－1
＋1，?
∴Tn＝b1＋b2＋b3 ＋??＋bn＝20＋21＋22＋??＋2n－1＋n＝2n＋n－1 (Ⅲ) Tn－Sn＝2n－n2－1．? 当n＝1时，T1－S1 ＝0，∴T1＝S1； 当n＝2时，T2－S2＝－1，?∴T2＜S2； 当n＝3时，T3－S3＝－2，?∴T3＜S3； 当n＝4时，T4－S4＝－1，?∴T4＜S4； 当n＝5时，T5－S5＝6，?∴T5＞S5； 当n＝6时，T6－S6＝27，，?∴T6＞S6；
猜想：当n≥5时，Tn＞Sn.即2n＞n2＋1.下用数学归纳法证明：? 1° 当n＝5时，前面已验证成立；
2° 假设n＝k（k≥5）时命题成立，即2k＞k2＋1.成立， 那么当n＝k＋1时，
2k＋1＝2·2k＞2(k2＋1)＝k2＋k2＋2≥k2＋5k＋2＞k2＋2k＋2＝(k＋1)2＋1． 即n＝k＋1(k≥5)时命题也成立．
由以上1°、2°可知，当n≥5时，有Tn＞Sn.；
综上可知：当n＝1时，T1＝S1；当2≤n＜5时，Tn＜Sn.，当n≥5时，有Tn
＞Sn.．
说明：注意到2的增长速度大于n＋1的增长速度，所以，在观察与归纳的过程中，不能因为从n＝1到n＝4都有Tn≤Sn.就得出Tn≤Sn.的结论，而应该坚信：必存在n，使得2n＞n2＋1，从而使得观察的过程继续下去．
例9． 已知函数f(x)＝x2－3，(x≤－3) (1)求f(x)的反函数f(x);
(2)记a1＝1,an＝ －f(an－1)(n≥2),请写出a2,a3,a4的值并猜测想an的表达式.再用数学归纳法证明.
－1－1
n2
26
解：(1)设y＝f(x)＝ x－3，(x≤－3 )，由y＝x－3(x≤－3)，x＝ －y＋3 即f－1(x)＝ －x2＋3 (x≥0).
(2)由a1＝1且an＝ －f－1(an－1)(n≥2的整数)，a2＝ －f－1(a1)＝ －( －a12＋3 ＝4 ， a3＝3＋4＝7 ，a4＝3＋7＝10 .
依不完全归纳可以猜想到：an＝3n－2 (n自然数) 下面用数学归纳法予以证明：
当n＝1时,a1＝3×1－2 ＝1命题成立
假设n＝k(1≤k≤n)时,命题成立：即ak＝3k－2 那么当n＝k＋1时,ak＋1＝－f－1(ak)
＝ak2＋3 ＝(3k－2)＋3 ＝3(k＋1)－2
综上所述,可知对一切自然数n均有an＝3n－2 成立.
2222
3an＋4
例10． 已知数列{an}中，a7＝4，an＋1＝ ，．
7－an
（Ⅰ）是否存在自然数m，使得当n≥m时，an＜2；当n＜m时，an＞2？ an－1＋an＋1
（Ⅱ）是否存在自然数p，使得当n≥p时，总有 ＜an？
2
3an＋4
解：（Ⅰ）首先考虑能否化简已知条件an＋1＝ ，但事实上这一条路走不通，于是，
7－an
我们转而考虑通过计算一些ak的值来寻找规律．不难得到：
a8＝
1644
，a9＝12，a10＝－8，a11＝－ ，a12＝0，a13＝ ， 337
可以看出：a8，a9均大于2，从a10到a13均小于2，但能否由此断定当n＞13时，也有an＜2？这就引导我们去思考这样一个问题：若an＜2，能否得出an＋1＜2？
为此，我们考查an＋1－2与an－2的关系，易得
3an＋45(an－2)
an＋1－2＝ －2 ＝ ．
7－an7－an
可以看出：当an＜2时，必有an＋1＜2．于是，我们可以确定：当n≥10时，必有an＜2． 为了解决问题（Ⅰ），我们还需验证当n＝1，2，??，9时，是否均有an＞2． 方法之一是一一验证．即通过已知条件解出：an＝
7an＋1－4
．由此，我们可以从a7出发，
an＋1+3
计算出这个数列的第6项到第1项，从而得出结论．
另外，得益于上述解法，我们也可以考虑这样的问题：“若an＋1＞2，能否得出an＞2”？
27
7an＋1－45(an＋1－2)
由an－2＝ －2＝ 不难得知：上述结论是正确的．
an＋1+3an＋1+3所以，存在m＝10，使得当n≥m时，an＜2；当n＜m时，an＞2．
（Ⅱ）问题等价于：是否存在自然数p，使得当n≥p时，总有an－1－an＋1－2 an＜0． 2(an＋1－2)3
由（Ⅰ）可得：an－1－an＋1－2 an＝．
(7－an＋1)(3＋an)
我们已经知道：当n≥10时，an＜2，于是(an＜2)＜0，（7－an）＜0，所以，我们只需考虑：是否存在不小于10的自然数p，使得当n≥p时，总有an＞－3？
观察前面计算的结果，可以看出：a10＜－3 ，a11，a12，a13均大于－3，可以猜想：p＝11 即可满足条件．
这样的猜想是否正确？我们只需考查an＋1＋3与an＋3的关系： 3an＋425由an＋1＋3＝ ＋3＝ 可知：上述结论正确．
7－an7－an
另外，如果我们注意到从a11到a13，数列的项呈递增的趋势，则也可以考虑an＋1－an． 3an＋4(an－2)
由an＋1－an －an ＝ ＞0，从而得出结论．
7－an7－an
2
3
说明：（1）归纳、猜想是建立在细致的观察和缜密的分析基础上的，并非无源之水、无本之木．（2）上述分析的过程如果用数学归纳法写出，则相当简洁，但同时也掩盖了思维的过程．
四、由递推公式探求数列问题
3
例11．设An为数列{an}的前n项的和，An＝(an－1)，数列{bn}的通项公式为bn＝4n＋3。
2（1）求数列{an}的通项公式；
（2）把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大先后顺序排成一个新的数列{dn}，证明数列{dn}的通项公式为dn＝32n＋1;
（3）设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项，Br为数列{bn}的前r项的和，Dn为数列{dn}的前n项和，Tn＝Br－Dn，求limTn
4。
n??an
33
解：（1）由An＝ (an－1)，可知An＋1＝ (an＋1－1)
223an＋1
∴An＋1－An＝ (an＋1－an)＝an＋1，即 ＝3
2an3
而a1＝A1＝ (a1－1)，得a1＝3
2
所以数列{an}是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{an}的通项公式为an＝3。 （2）∵32n＋1＝3·32n＝3·(4－1)2n
28
n
＝3×（4＋C2n·4
2n12n－1
(－1)＋?＋C2n
2n－1
·4·(－1)＋(－1)）
2n
＝4m＋3 ∴32n＋1∈{bn}
2n2n
而数3＝（4－1）
＝42n＋C2n1·42n－1·（－1）＋?＋C2n2n－1·4·(－1)＋(－1)2n ＝(4k＋1) ∴32n?{bn} 而数列{an}＝{3
2n＋1
∴ dn＝3 (3)由3
2n＋1
2n＋1
}∪{3}
2n
32n＋1－3
＝4·r＋3，可知r＝ 4
r(7＋4r＋3)32n＋1－332n＋1＋7∵Br＝ ＝r(2r＋5)＝ ·
242Dn＝
2727
·(1－9n)＝ (9n－1) 1－98
92n＋1＋4·32n＋1－2127n
∴Tn＝Br－Dn＝ － (9－1)
8891534n2n
＝ ·3－ ·3＋
884又∵（an）＝3 ∴lim
例12． 已知函数f(x)＝x＋x2－a2 (a>0)
（1）求f(x)的反函数f－1(x)及其定义域；(黄冈，一模 理科）
?a1＝3a
（2）数列{an}满足? －1
?an＋1＝f(an)
n??4
4n
Tn9＝ 4
an8
an－a7
设bn＝ ，数列{bn}的前n项和为Sn，试比较Sn与 的大小，并证明你的结论。
an＋a8y2＋a2
解：（1）给y－x＝x－a 两边平方，整理得 x＝
2y
2
2
y2＋a2y2－a2(y＋a)(y－a)
∵y－x＝y－ ＝ ＝ ≥0
2y2y2y
∴y≥a或－a≤y<0
x2＋a2
故f(x)＝ ，其定域为[－a,0)∪[a,＋∞)
2x
－1
an2＋a2
（2）∵an＋1＝f(an)＝
2an
－1
an＋1－aan－a22
∴bn＋1＝ ＝?＝（ ）＝bn (可两边取对数求解)
an＋1＋aan＋aa1－a3a－a1
又a1＝3a，b1＝ ＝ ＝
a1＋a3a＋a2∴bn＝(bn－1)＝(bn－2)
2
22＝(bn－3)
23
29
n?11
＝( )2
2
＝?＝(b1) 2n?1∴Sn＝b1＋b2＋?＋bn
234n?11111111
＝ ＋( )2＋( )2＋[( )2＋( )2＋?＋( )2]＝1－( )n 2222222
777
由此可知，当n＜3时，Sn＜ ，当n＝3时，Sn＝ ，当n＞3时，Sn＞ ．
888又∵2
n－1
＝(1＋1)
n－1
123n－1
＝1＋Cn－1＋Cn－1＋Cn－1＋??＋Cn－1
2
则当n≥4时，2n－1＞1＋C1n－1＋Cn－1 ＝1＋(n－1)＋
(n－1)(n－2)
>n＋1
2
n?111
∴( )2<( )n＋1
22
234n?111211111n
∴Sn＝ ＋( )＋( )2＋[( )2＋( )2＋?＋( )2]＝1－( )
2222222
7
由此可知，当n≥4时，Sn＞ ．
8
2111111137
当n＝3时，Sn＝ ＋( )2＋( )2＝ ＋ ＋ ＝ ＜ ．
2222416168
7
故知当n≤3 时，Sn＜ ．
8
说明：本题是一道数列与函数的综合题。首先应准确地求出f－1(x)及其定义域。搞清定义域是解题成功的一半。根据函数f(x)解析式的特点，也可以利用三角代换x＝asecθ，θ∈[0,
π3π)∪[π,) ，求函数f(x)的值域，即f－1(x)的定义域。 22
4an－2Ban＋C例13．已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝ ，是否存在这样的数列{bn}，bn＝ ，
an＋1an＋A
其中A、B、C为实常数，使得{bn}是等比数列而不是等差数列？证明你的结论，并求{an}的取值范围。
解：假设这样的{bn}存在，则应有
4an－24B＋CC－2B
＋Can＋
Ban＋1＋Can＋14＋A4＋Abn＋1＝ ＝ ＝ an＋1＋A4an－2A－2
＋Aan＋an＋14＋A
B·
Ban＋C an＋A
存在q≠0，q≠1，q为常数，使bn＋1＝qbn，对n∈N都成立，于是比较两边的分子和分又 bn＝母，有
30