右边=1-sin2?+cos?+cos?sin?=cos2?+cos?+sin?cos? ∵左边=右边，∴原等式成立。 或证等价命题：
1?sin??cos?1?sin??cos?22-
1?sin?cos?=0
证法二（利用化“1”的技巧） 左边==
sec??tg??(sec??tg?)sec??tg??1
1?sin?cos??sec??tg??(1?sec??tg?)sec??tg??1证法三（利用同角关系及比例的性质） 由公式 sec2?-tg2?=1
?(sec?-tg?)(sec?+tg?)=1 sec??tg?1?=.
1sec??tg?=sec?+tg?==右边。
由等比定理有：
sec??tg??11?sec??tg?yxyr=sec?+tg?=
1?sin?cos?.
证法四（利用三角函数定义） 证sec?=
rx, tg?=, sin?=, cos?=
xr.
然后代入所证等式的两边，再证是等价命题。
其证明过程同学自己尝试一下。
评述：证明三角恒等式的实质，就是逐步消除等号两边结构差异的过程，而“消除差异”的理论依据除了必要三角公式以外，还需要有下列等式的性质：
(1)若A=B，B=C则A=C（传递性） (2)A=B?A-B=0
(3)A=B?(4)
ABAB=1 (B?0)
=
CD? AD=BC (BD?0)
anbna1?a2???anb1?b2???bna1b1a2b2anbn(5)比例：一些性质，如等比定理： 若
a1b1=
a2b2=??=，则===??=。
1．如果?是第二象限角，则限
?2所在的象限是（ ）
A、第一象限 B、第一或第三象限 C、第二象限 D、第二或第四象2．在下列表示中正确的是（ ） A、终边在y轴上的角的集合是{?|?=2k?+
?2, k?Z}
?43B、终边在y=x的直线上的角的集合是{?|?=k?+C、与(-?3, k?Z} , k?Z}
?4)的终边相同的角的集合是{?|?=k?-
?D、终边在y=-x的直线上的角的集合是{?|?=2k?-3．若?
32, k?Z}
?, 则2log2sin?等于（ ）
16
A、sin(?-?) B、-sin? C、cos(?-?) D、-csc? 4．函数y=2sin(
x2??6)在[?，2?]上的最小值是（ ）
A、2 B、1 C、-1 D、-2 5．已知函数y=cos(sinx)，下列结论中正确的是（ ） A、它的定义域是[-1，1] B、它是奇函数； C、它的值域是[0, 1] D、它是周期为?的函数 6．设0 ?4，下列关系中正确的是（ ） A、sin(sinx) ?2= 35，cos ?2=- 45，则??[0, 2?]，终边在（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 8．如果一弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（ ） A、sin 12 B、 ?6 C、 1sin12 D、2sin 12 9．化简三角函数式tg(A、tg ?72k?12?+ 67?) (k?Z), 结果是（ ） 6?7 B、ctg ?2?7 C、ctg ?sin? D、-tg tg??7 10．设??(0, )，A??cos??，B??sec??的大小是（ ） A、A>B B、A≥B C、A 答案: B B D C D A D C B C 5正、余弦函数的有界性之解题作用 正、余弦函存在着有界性，即sinx?1，cosx?1，在一些数学问题中灵活地加以运用，沟通三角函数与数值间的关系，能大大简化解题过程。 例1．若实数x满足log2x?2sin??3，求x?2?x?32的值。(黄冈，二模 理科） 解：原方程可化为sin??3?log22x， 17 因为?1?sin??1，所以?1?所以1?log3?log22x?1， 2x?5，所以2?x?32 所以x?2?x?32?x?2?32?x?30。 例2．在?ABC中，cos?A?B??sin?A?B??2，试判定三角形的形状。 解：因为cos?A?B??1，sin?A?B??1，又cos?A?B??sin?A?B??2， 所以cos?A?B??1，sin?A?B??1 而???A?B??，0?A?B??， ?于是A?B?0，A?B? 2所以，A?B??4。故?ABC为等腰直角三角形。 2例3．已知四边形ABCD中的角A、C满足cos求证：B?D?? 证明：由已知条件有cos2A?C3?A?C3?sin2A3?sin2C2?34 1?2A?1?2C?3?1?cos???1?cos?? 2?3?2?3?4所以cos2?A?CA?C1?A?C?cos??0 ??cos334?3??1。从而cos22由于cosA?C3A?C3?cosA?C32?14?0 A?C1?A?C1???所以?cos???0，但?cos???0， 3232????所以cosA?C323所以A?C??，故B?D??。 ?1?0，cosA?C?12。 例4．已知函数f?x??ax?b，2a?6b?3，求证：对于任意x???1,1?，有 22f?x??2。 ??3，所以???2?a??3??2证明：因为2a?6b22?2b?2?1。 令 23a?sin?，2b?cos?，则a?23sin?，b?12cos? 18 所以f?x??32sin?x?12cos??3x?123x?1222?sin?????????arctg?1??? 3x?从而f?x??3x?122sin?????? 又x?1，故f?x??3x2?12?42?32 例5．证明：1?证明：设 sin??sin??cos??24。 3cos??k，则只须证明1?k?24。 因为k2?sin??cos??2sin?cos?? ?1?sin2??2sin2? 2?sin??cos??2?2sin2? 因为0?sin2??1，所以1?k3?2?2?22， 3从而1?k?24。故1?sin??cos??24。 例6．复数z1，z2，z3的幅角分别为?、?、?，z1?1，z2?k，z3?2?k，且z1?z2?z3?0，问k为何值时，cos?????分别取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值。 解；因为z1?cos??isin?，z2?k?cos??isin??，z3??2?k??cos??isin??， 因为z1?z2?z3?0， 所以?cos??kcos???2?k?cos???i?sin??ksin???2?k?sin???0。 因而cos???kcos???2?k?cos?，sin???ksin???2?k?sin?。 2两式平方相加得1?k??k?2??2k?k?2?cos????? 2由题设知k?0，k?2， 所以cos???????k?2??k22?12k?k?2??1?32?k?1??22??（＊） 因为cos??????1，所以?2?32?k?1??22?0， 19 解之得 12?k?32。 由（＊）知，当k?1时，?cos????又由（＊）及 12?k?32??min、32??12。 知，当k?12时，?cos??????min??1。 例7．设a为无理数，求证：函数f?x??cosx?cosax不可能是周期函数。 证明：假设f?x?是周期函数，则存在常数T?0，使对于任意的x， cos?x?T??cosa?x?T???cosx?cosax都成立。 令x?0得，cosT?cosaT??cos0?cos0?2 因为cosT?1，cosaT?1，所以cosT?cosaT?1 从而T?2K?，aT?2L??K,L为整数? 所以a?aTT?LK。 LK此时K，L为整数，则为有理数，但a为无理数，这是不可能的，故命题成立。 1．（2010年全国）在(0,2?)内，使sinx>cosx成立的x取值范围为（ ）。 ??5??) B、(,?) A、(,)?(?,4244?5??5?3?) D、(,?)?(,) C、(,4444242上，∴ 应选C。 解：在(??,)内，sinx>cosx，在[?2,?]内sinx>cosx；在(?,5?4)内，sinx>cosx；综 2．（2011年黄冈） tg300 A、1?解：tg30000。 ?ctg405的值为（ ） 3 C、?1?0003 B、1?3 D、?1?3 ?ctg405 000?tg(360?60)?ctg(36000?45) ??tg60?ctg45??3?1 ∴ 应选B。 3．(黄冈，二模 理科）已知点P(sin?-cos?,tg?)在第一象限，则在[0，2?]内?的取值范围是（ ） ?3?5???5?)?(?,) B、(,)?(?,) A、(,24 C、(?3?2,4)?(5?4,43?2424) D、(??4,2)?(4?3,?) 20