专题十四 奇数与偶数
知识对对碰
我们把自然数按照能否被2整除分为奇数和偶数两类，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数，一切整数不是奇数就是偶数，这也就是整数的奇偶性。
如果我们用n表示整数，n=O，1，2，3，?那么2n就表示偶数，2n+l或2n-1表示奇数。 在计算中，奇、偶数有一定的运算规律： 奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数； 偶数+偶数=偶数，偶数-偶数=偶数； 奇数-偶数=奇数，偶数-奇数=奇数； 奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数； 偶数×偶数=偶数。 名题典中典
例1 (★)从公元1年开始到公元2年，公元3年??一直到公元2000年。在这些年份当中，有多少个奇数年？有多少个偶数年？ 例2 (★)今有一队小朋友，每人都拿着一个球，如果其中拿篮球的人比拿排球的多1人，而拿排球的又比拿足球的多1人，设拿足球的人数是奇数，那么这队小朋友的人数是奇数还是偶数？
例3(★)用数字1、3、0可以组成多少个奇数和偶数？
例4 (★★)已知五位数的各位数字的和是37，那么(1)在这些五位数中，最大的是几？(2)在这些五位数中，偶数多还是奇数多？
例5(★★)一条公路上，从起点起，每隔1米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数（以米为单位）。这是为什么？
例6(★★)筐中有60个苹果，将它们全部取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同。问：有多少种分法？
例7(★★★)有如图14 -1所示的十二张扑克牌的示意图，2点，6点，10点，各4张。能从中选出7张牌，使其上面点数之和等于52吗？说明理由。
例8(★★★)今有6只杯口全朝上的杯子，每次将其中的四只同时“翻转”，问能不能经过这样有限多次的“翻转”，使杯口全部朝下。为什么？
例9(★★★)将100个灯泡编成100个号，即：1，2，3，??，100。现有100个人去拉开关，第一个人把1的倍数的灯号开关都拉一下，第2个人把2的倍数的灯号开关都拉一下，直到第100个人将100号灯泡拉一下。假定开始时，灯泡全不亮，试问：这100个人全拉完后，哪些编号的灯泡是亮的？
魔地训练营
1．如果十个互不相同的两位奇数之和等于898，那么，这十个数中最小的一个是多少？
2．有6个学生都面向北方站成一行，每喊一次口令只能有5人向后转。则最少喊多少次口令，才能使这6个学生都面向南方？
3．把任意6个连续整数分别填入图14 -2的6个小方格内。求证：一定存在一个矩形，它的4个角上的小方格中的4个数字之和为偶数。
4．把1988表示成28个连续偶数的和，那么其中最大的偶数是_________。
5.7个相邻的奇数的和是147，求这7个数。
6．小明的爷爷钓鱼回来，小明问：“爷爷您今天钓了多少鱼呀？”爷爷说：“我今天甩出鱼竿和提起鱼竿共100次，可是有17次提起鱼竿时没钓着鱼，其余每提一次就钓了一条鱼，你说我今天钓了多少鱼呀？”
7．在某一个月中，有3个星期天都是偶数日期（例如6号是星期天）。问：这个月的5号是星期几？
8. 37筐水果，由5只小船运过河去，要求每只小船上装偶数筐水果，同学们想一想是否可能？
9．在下面的一列数中： 1,9,9,9,8,5,1,3,7,6,?，从第5个数起，均为它前面相邻4数之和的个位数。那么，在这列数中，能否出现相邻的4个数字：2，0，0，0?
10.如果两个人互相握手，那么每个人都握了一次手。问：握了奇数次手的人的总数是奇数还是偶数？
11.将l～100这100个自然数任意排成一排，在这些相邻的三个数之和中，至少有____个奇数，至多有____个奇数。
12. 36口缸，分九船装，只准装单，不准装双。问：能否运走这些缸？
13.四年级共有学生300名，现在选派一位同学去观看文艺会演。挑选的方法是：先把300名同学排成一排，由第一名开始报数，报奇数的同学落选退出队列，报偶数的同学站在原位置上不动，再报数。如此继续下去，最后剩下的一名同学便是观看会演的人选。丁丁非常想去，那么让丁丁站在什么位置上能被选中？
14.用l、2、3、4、5这5个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积。乘积中偶数多还是奇数多？
15.在5×5的小方格纸中，每一小方格中都有一只蚂蚁。现在要求每只蚂蚁都爬到相邻格（有公共边的格子）中去，使得每只蚂蚁都有一小方格。能否做到？为什么？
16.我们把像3和5、33和35这样的两个数都叫做两个连续的奇数。已知自然数1111155555是两个连续奇数的乘积。那么这两个连续奇数的和是________。
专题十五 平均数问题
知识对对碰
平均数在我们日常的生活、生产和科研中有着广泛的应用。平均数就是把若干个不完全相等的数在总数量不变的条件下，“移多补少”，使它们彼此相等，得到的这个数就是平均数。解答平均数应用题，一般根据“总数量”，“总份数”和“平均数”三者之间的关系进行解答，其基本数量关系是： 总数量÷总份数=平均数， 平均数×总份数=总数量， 总数量÷平均数=总份数。
解答平均数应用题，也可以先确定一个数作为基准数，再把其他的数和基准数相比较，直接“移多补少”。
名题典中典
例1(★)胜利钢铁公司在一周内，前3天平均每天生产钢铁0. 16万吨，后4天平均每天生产钢铁0.195万吨，这周平均每天生产钢铁多少万吨？
例2(★)张明期末考试中语文、思想品德、英语的平均成绩是74分，数学成绩公布后，他的平均成绩提高了3分，张明的数学成绩是多少分？
例3(★)小强上山时的速度是每时2千米，下山时的速度是每时6千米。那么，他在上、下山全过程中的平均速度是每时多少千米？
例4(★★)六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的99分，最低的76分，那么按从高到低的顺序，居第三位的同学至少得了多少分？
例5(★★)把自然数1，2，3，4，??998，999分成三组，如果每一组数的平均数恰好相等，那么这三个平均数的和是多少？
例6(★★)甲、乙、丙、丁四人，每三人的平均年龄加上余下一人的年龄分别是29，23，21和17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？
例7(★★★)五个评委给一个体操运动员评分：去掉一个最高分和一个最低分后平均分是9.58;只去掉一个最高分，平均分是9.46分；只去掉一个最低分，平均分是9.66分。问：这个运动员的最高分与最低分相差多少分？
例8(★★★)一班共有50名学生，在一次考试后，结果是前20名的平均分比后30名的平均分多10分。而一位同学认为，前20名的平均分与后30名的平均分的和的一半，就是全班的平均分。如果按这样算，把全班平均分提高了还是降低了？与班全实际平均分相差多少？
例9(★★★)四（1）班同学组织去北郊公园秋游。在公园合影留念，40位同学分成三组照相。已知照6寸照片洗3张价格是6元，另外加洗每张0.4元，如果每人各得一张，平均每人需多少钱？全班应付给公园照相处多少钱？
魔法训练营
1．李冬在期末考试中五科成绩的平均分为86分，后来知道判卷失误，于是老师把其中的一门成绩更正为95分，五科平均分变为88分，这门更正成绩的学科原是多#少分？
2．小强在前五天平均每天做3.6道数学题，第四、五两天共做了5道题。第六天继续做题，但为了使后三天的平均数超过六天的平均数。问第六天他至少要做多少道题。
3．武汉3月份1号、2号、3号3天的平均温度是15℃，如果把4号的温度计算在内，那4天的平均温度会提高2℃，武汉3月4号这一天的气温是多少摄氏度？
4．商店用相同的费用，进货时买进甲、乙两袋不同的糖果。已知甲袋糖果每千克需6元，乙袋糖果每千克需4元。如果把两袋糖果混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克的成本是多少元？
5．大象、山羊、乌龟的平均寿命是68年，大象、山羊的平均寿命是44年，山羊、乌龟的平均寿命是67年。大象、山羊、乌龟的寿命各是多少年？
6．有四个少先队小组拾树种，甲、乙、丙三组平均每组拾24千克，乙、丙、丁三组平均每组拾26千克，已知丁组拾28千克，那么甲组拾了多少千克？
7．三个小朋友的平均体重是32千克，且没有一个小朋友的体重小于18千克，那么体重最重的可能是多少千克？
8．张、王、李、赵四人合资组建一运输队，张购进2辆汽车，王购进4辆汽车，李购进3辆汽车，这几辆汽车价格相同。所需资金由四人平均负担，这样赵应拿出18万元。张应再拿出多少万元？
9．有几位同学一起计算他们英语考试的平均分，赵丽的得分如果再提高8分，他们的平均分达到90分，如果赵丽的得分降低7分，他们的平均分就只有87分，这几个同学的实际总得分是多少？
10.某班一次语文测验（满分为100分）第一小组成绩统计表破损了，请想办法把3号、4号同学的成绩算出来填上。
11.学校去商店买商品，买A类商品共42件，买B类商品共58件，两类商品的平均价格为86元，A类商品比B类商品的平均价格低6元。问两类商品的平均价格各是多少元。
12.小菲全家星期天开小车去郊游，在一段水平公路上行驶3小时，每小时行56千米，然后行驶上坡路用了4小时，每小时行30千米。最后又以每小时40千米的速度下坡，行了1小时到达目的地，这段旅程中小车行驶的平均速度是多少？
13.数学考试的满分成绩是100分。6位同学的平均分数是90分，这6个人的分数各不相同且都为整数，其中有一位同学仅得65分，那么居于第三位的同学（从高到低）至少得了多少分？
14.育才小学100个学生参加数学竞赛，平均得63分。其中男生平均分是60分，女生平均分是70分，问男生比女生多多少人？
为什么时间和角度的单位用六十进位制
时间的单位是时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系。可是，为什么它们都分成分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？
我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的。原来，古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了。譬如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的。因为历法需要的精确度较高，时间的单位“时”、角度的单位“度”都嫌太大，必须进一步研究它们的小数。时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质：使1/2、1／3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍。以1/60作为单位，就正好具有这个性质。譬如：1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1／60??
数学上习惯把这个1/60的单位叫做“分”，用符号“”’来表示；把1分的1/60的单位叫做“秒”，用符号“”’来表示。时间和角度都用分、秒做小数单位。
这个小数的进位制在表示有些数字时很方便。例如常遇到的1/3，在十进位制里要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数。
这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数法，在天文历法方面已长久地为全世界的科学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天。