直线与圆锥曲线的位置关系
圆锥曲线的几种常见题型
（1）直线与圆锥曲线位置关系的判定； （2）求直线与圆锥曲线相交的弦长的方法:
设弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)AB?______________________. （3）圆锥曲线的弦中点问题的解法:
（4）解析几何中的最值和定值的方法： 【热身练习】
1、方向向量为a?(?1,?2)且与抛物线y?x2相切的直线的方程是______________。 2、“a=b”是“直线y?x?2与圆(x?a)2?(y?b)2?2相切”的______________条件。
x2y2??1内一点M(1,1)的直线交椭圆于A,B两点，且满足AM?MB，则该直线的方程3、过椭圆
164_________。
4、直线y?x?3与抛物线y2?4x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q，则梯形APQB的面积为______________.
5、等轴双曲线C：x2?y2?1的左焦点为F，若点P为左下半支上任意一点（不同于左顶点），则直线PF的斜率的取值范围是________________。
6、已知实数x，y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是_____________。 7、已知圆M：(x?cos?)2?(y?sin?)2?1，直线l：y?kx，下列四个命题：
A、对任意实数k与?，直线l和圆M相切 B、对任意实数k与?，直线l和圆M有公共点
C、对任意实数?，必存在对实数k，使得直线l和圆M相切 D、对任意实数k，必存在实数?，使得直线l和圆M相切 其中真命题的代号是 （写出所有真命题）
【例题分析】
例1、已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M. (1)求抛物线方程;
(2)过M作MN⊥FA, 垂足为N,求点N的坐标;
(3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系.
1
例2、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋22.记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程；
(2)经过点（0, 2）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；
?????????????（3）已知点M（2，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量OP?OQ与MN共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.
例3、已知点E、F的坐标分别是??2,0?、?2,0?，直线EP、FP相交于点P，且它们的斜率之积为?（1）求证：点P的轨迹在一个椭圆C上，并写出椭圆C的方程；
（2）设过原点O的直线AB交（1）中的椭圆C于点A、B，定点M的坐标为?1,?，试求?MAB面积
的最大值，并求此时直线AB的斜率kAB。
1。 4?1??2?x2y2例4、设F1,F2分别是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左右焦点
ab3)到F1,F2两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标 (1)设椭圆C上的点(3,2(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程
(3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存
在，并记为kPM,KPN 试探究kPM
2
?KPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。
x2y2例5、已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2，短轴两个端点为A,B，且四边形
abF1AF2B是边长为2的正方形。
（1）求椭圆方程；
（2）若C,D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MD?CD，连接CM，交椭圆于点P。证明：
OM?OP为定值；
（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
??解：
例6、 设复数??x?yi(x,y?R)与复平面上点P(x,y)对应.
（1）若?是关于t的一元二次方程t?2t?m?0（m?R）的一个虚根，且|?|?2，求实数m的值；
（2）设复数?满足条件|??3|?(?1)n|??3|?3a?(?1)na（其中n?N、常数
?23y)的轨迹为C1. 当n为偶数时，动点P(x、y)的轨迹为C2. 且两，当n为奇数时，动点P(x、a?(,3)）
2条曲线都经过点D(2,2)，求轨迹C1与C2的方程；
（3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B?x0,0?(x0?0)的最小距离不小于求实数x0的取值范围.
3
23，3
【课后练习】
x221.若点O和点F(?2,0)分别是双曲线2?y?1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,
a????????则OP?FP的取值范围为__________________。
2.若直线y=x+b与曲线y?3?4x?x2有公共点，则b的取值范围是________________。
?x2y23.设椭圆方程为2?2?1?a?0,b?0?，且a?2b．过椭圆的左焦点F且倾斜角为的直线与椭圆
3ab交于两点A?x1,y1?,B?x2,y2?，且x1?x2??
12，求椭圆的方程． 7x2y24、已知F1,F2为椭圆C:2?2?1,?a?b?0?的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线
abMF2交椭圆于M，设MF2?d .
（1）证明：d,b,a 成等比数列； （2）若M的坐标为
?2,1，求椭圆C的方程；
?????????（3）[文科] 在（2）的椭圆中，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，若OA?OB?0，求直线l的方
程．
[理科] 在（2）的椭圆中，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，若椭圆C上存在点P，使得
????????????OP?OA?OB，求直线l的方程．
4
5．设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y?2x2上，l是AB的垂直平分线， （1）当且仅当x1?x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论； (2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围。 解：
6．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(a,?4)(a?0)到焦点F的距离为5。 （1）求抛物线的方程与实数a的值；
（2）直线l过焦点F，且点M到直线l的距离为4，求直线l的方程； （3）O是抛物线的顶点，在抛物线弧OM上求一点P，使△FPM的面积最大。 解：
7．已知椭圆E的中心在原点，实轴长为6,一个焦点坐标为0,22. (I).求椭圆E 的标准方程
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(II)一条直线l与椭圆E交于两个不同的点M,N,如果线段MN恰好被直线x= — 平分，求直线l的倾斜角
2α的取值范围。 解：
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