即当且仅当x1?x2?0时，l经过抛物线的焦点F.
（II）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y?2x?b；过点A、B的直线方程可写为y??2所以x1,x2满足方程2x?1x?m，211x?m?0,得x1?x2??； 241?8m?0, 4
A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式??即m??1. 32设AB的中点N的坐标为(x0,y0)，则 x0?1111(x1?x2??,y0??x0?m??m. 28216由N?l,得115519?m???b,于是b??m???. 1641616323232即得l在y轴上截距的取值范围为（9,??）.
6．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(a,?4)(a?0)到焦点F的距离为5。 （1）求抛物线的方程与实数a的值；
（2）直线l过焦点F，且点M到直线l的距离为4，求直线l的方程； （3）O是抛物线的顶点，在抛物线弧OM上求一点P，使△FPM的面积最大。
解：（1）由抛物线的性质知，M到抛物线准线的距离为5，抛物线开口向下，所以其准线方程为y?1 所求抛物线方程为x2??4y
a2?16，又a?0，所以a?4 4分
（2）F(0,?1),M(4,?4)，若直线l斜率存在，设l:y?kx?1 5分 点M(4,?4)到直线l距离为4，所以|4k?3|k?12?4 7分
解得 k?77x?1 8分 ，则l:y?24247x?1或x?0。 10分 24当直线l斜率不存在时，x?0也满足题意 9分 所以所求直线l方程为：y?（3）设P(x,y)(0?x?4)，由F(0,?1),M(4,?4)，则
16
S?FPM?10?11 12分 24?41xy111|3x?4y?4|?|?x2?3x?4| 2213225| 14分 ＝|?(x?)?22432539因为0?x?4，所以当x?时，△FPM面积最大值为。此时P(,?)。16分
22168 ＝
7．已知椭圆E的中心在原点，实轴长为6,一个焦点坐标为0,22. (I).求椭圆E 的标准方程
1
(II)一条直线l与椭圆E交于两个不同的点M,N,如果线段MN恰好被直线x= — 平分，求直线l的倾斜角
2
α的取值范围。
??x2y2解 （1） 根据题意可设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，c为半焦距，c?a2?b2 aby2c22a2922?1 ，?a?3,c?22,b?1?x??e??,?9a3c4（2）由题意知，直线的倾斜角不可能为0和
?，?设直线方程为y?kx?m(k?0) 2?y?kx?m?(k2?9)x2?2kmx?m2?9?0，??4k2m2?4(k2?m)(m2?9)?0 ?2y2?1?x?9?即k?m?9?0（1）， 设M(x1,y1),N(x2,y2)，x1?x2?22?2km1MNx??，线段被直线平分 ?k2?921?2km1k2?9??2??，即m?（2） 2k?922k（2）代入（1）解得k?3，即k?3或k??3，
2? 倾斜角的取值范围是{?|?3????2或
?2???2?} 328．在平面直角坐标系xOy中，过定点C(p,0)作直线与抛物线y?2px(p?0)相交于A,B两点，设动点A(x1,y1)、B(x2,y2)。 (1)求证：y1y2为定值；
(2)若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求?ADB面积的最小值；
17
(3)是否存在平行于y轴的定直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由。
解：（1）当直线AB垂直于x轴时，y1?2p,y2??2p，因此y1y2??2p2（定
值）；…………………………………………………………………………………….2分
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为：y?k(x?p)，
由??y?k(x?p)222得ky?2py?2pk?0,?yy??2p. 122?y?2px因此有y1y2??2p2为定值。…………………………………………………….5分 （2）D(?p,0),?DC?2p.S?ADB?当直线AB垂直于x轴时，S?ADB?1DC?|y1?y2|。…………………….6分 21?2p?22p?22p2；……………….7分 22p,因此当直线AB不垂直于x轴时，由（1）知 y1?y2?k4p2|y1?y2|?(y1?y2)?4y1y2??8p2?22p， 2k2?S?ADB?22p2。……………………………………………………………10分
综上，?ADB面积的最小值为22p2。………………………………………11分 （3）设存在直线l:x?a满足条件。AC中点E(2x1?py1,)，……………12分 22AC?(x1?p)2?y1，因此以AC为直径的圆的半径r?11122AC?(x1?p)2?y1?x1?p2，………………………………….13分 222AC中点E到直线x?a的距离d?|x1?p?a|，…………………………...14分 2?所截弦长为： 2r2?d2?2x?p122(x1?p2)?(1?a)2?x1?p2?(x1?p?2a)2 42??2x1(p?2a)?4pa?4a2，…………………………………………..…16分
x?
p。…………………………………………………………………………….….18分 218
9.圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲
x2?y2?1。 线的垂轴弦。已知椭圆C：4（1）过椭圆C的右焦点作一条垂直于x轴的垂轴弦求MN的长度；
（2）若点P是椭圆C上不与顶点重合的任意一点，是椭圆C的短轴，直线MP、NP分别交x轴于点，求xE?xF的值； E(xE,0)和点F(xF,0)（如右图）
（3）在（2）的基础上，把上述椭圆C一般化为
M P O N F E x MN，
MNx2y2??1(a?b?0)，MN是任意一条垂直于a2b2x轴的垂轴弦，其它条件不变，试探究xE?xF是否为
x2y2定值？（不需要证明）；请你给出双曲线2?2?1(a?0,b?0)中相类似的结论，并证明你的结论。
ab（1）由条件可知右焦点的坐标为(3,0) ……………. 1分
1x2x?3代入椭圆C的方程?y2?1，得y?? ……. 3分
24所以MN?1 ……………. 4分
（2）设P(x0,y0),M(0,1),N(0,?1), 则lMP:y?1?y0?1?x ……………. 6分 x0?x0……………. 7分 y0?1 令y?0,则xE?x0?x02 同理可得：xF?，?xE?xF?2…………….8分
y0?1y0?1x02x222?y?1上，?y0?1? ?M,P在椭圆C：， 44?x02?x02??4……………. 10分 则xE?xF?1x022(?x0)(1?)?144x2y2 （3）点P是椭圆C：2?2?1(a?b?0)上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
ab直线MP、NP分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0)，则xE?xF?a2。……… 12分
19
x2y2点P是双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
ab直线MP、NP分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0)，则xE?xF?a2。……………. 14分
证明如下：设M(m,n),N(m,?n),P(x0,y0) 则 lMP:y?n?y0?n(x?m) x0?mmy0?nx0
y0?n 令y?0,则xE?my0?nx0m2y02?n2x02 同理可得：xF?，?xE?xF?
y0?ny02?n222x2y222m22x0 ?M,P在双曲线C：2?2?1上，?n?b(2?1),y0?b(2?1)，
aaab2x022mmb(2?1)?b(2?1)x02b2(x02?m2)2aa??a 则xE?xF?…. 18分 222xbm(x02?m2)b2(02?1)?b2(2?1)2aaa22
20