(3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为kPM,KPN 试探究kPM?KPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。
232)3(3)2)在椭圆上，2?[解]：（1）由于点(3,?1 ------1分 22ab2a=4, ------2分
(x2y2?1椭圆C的方程为 ?43--------3分
焦点坐标分别为（-1，0） ，（1，0）-----------4分 （2）设KF1的中点为B（x, y）则点K(2x?1,2y)--------6分
x2y2?1把K的坐标代入椭圆?43(2x?1)2(2y)2??1中得
43-----8分
12y2线段KF1的中点B的轨迹方程为(x?)??1----------10分
324（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称
设M(x0,y0)N(?x0,?y0),p(x,y) ----11分
x02y02x2y2M,N,P在椭圆上，应满足椭圆方程，得2?2?1，2?2?1------12分
ababkPM?y?y0x?x0KPN?y?y0-------------------13分
x?x0kPMy?y0y?y0y2?y02b2???KPN==?2-----------15分
x?x0x?x0x2?x02a故：kPM?KPN的值与点P的位置无关，同时与直线L无关，-----16分
x2y2例5、已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2，短轴两个端点为A,B，且四边
ab形F1AF2B是边长为2的正方形。 （1）求椭圆方程；
（2）若C,D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MD?CD，连接CM，交椭圆于点P。证明：OM?OP为定值；
（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
x2y2??1。 解：（1）a?2,b?c,a?b?c，?b?2，?椭圆方程为422222????????????????????????4分
11
（2）C(?2,0),D(2,0)，设M(2,y0),P(x1,y1)，则OP?(x1,y1),OM?(2,y0)。 直线CM：
??y1x?2y?y0，即y?0x?y0，???????????6分 ?424y0代入椭圆x2?2y2?4得
2y01212(1?)x2?y0x?y0?4?0。?????????????????8分
822228y04(y0?8)2(y0?8)，。 ?y??x1(?2)?,?x??11222y0?8y0?8y0?822(y0?8)8y0?OP?(?2,2)，??????????????????10分
y0?8y0?8?2224(y0?8)8y04y0?32。 ?OP?OM??2?2?2?4（定值）
y0?8y0?8y0?8??（3）设存在Q(m,0)满足条件，则MQ?DP。
24y08yMQ?(m?2,?y0)，DP?(?2,20)，??????????14分
y0?8y0?8??224y08y0则由MQ?DP?0得 ?2(m?2)?2?0，从而得m?0。
y0?8y0?8???存在Q(0,0)满足条件。??????????????????????16分
例6、设复数??x?yi(x,y?R)与复平面上点P(x,y)对应.
（1）若?是关于t的一元二次方程t?2t?m?0（m?R）的一个虚根，且|?|?2，求实数m的值； （2）设复数?满足条件|??3|?(?1)n|??3|?3a?(?1)na（其中n?N、常数
?23y)的轨迹为C1. 当n为偶数时，动点P(x、y)的轨迹为C2. 且两，当n为奇数时，动点P(x、a?(,3)）
2条曲线都经过点D(2,2)，求轨迹C1与C2的方程；
（3）在（2）的条件下，轨迹C2上存在点A，使点A与点B?x0,0?(x0?0)的最小距离不小于求实数x0的取值范围.
解：（1）?是方程的一个虚根，则?是方程的另一个虚根，????????????????????2分
则????m?|?|2?4，所以m?4???????????????????????????2分 （2）方法1：①当n为奇数时，??3???3?2a，常数a?(,3)），
23，332x2y2?1；???????????????????????2分 轨迹C1为双曲线，其方程为2?2a9?a
12
②当n为偶数时，??3???3?4a，常数a?(,3)），
32x2y2?1；???????????????????????2分 轨迹C2为椭圆，其方程为2?4a4a2?92?4??1??4a4?45a2?99?0?4a24a2?92依题意得方程组?解得a?3， ??42?a?15a?36?0?4?2?1?a29?a2?3因为?a?3，所以a?3，
2x2y2x2y2??1，??1.???????????????2分 此时轨迹为C1与C2的方程分别是：
36123?|??3|?|??3|?4a?|??3|?3a方法2：依题意得? ????????????????????2分 ??|??3|?|??3|?2a|??3|?a??轨迹为C1与C2都经过点D(2,2)，且点D(2,2)对应的复数??2?2i，
代入上式得a?3，??????????????????????????????????????2分
x2y2??1； 即|??3|?|??3|?23对应的轨迹C1是双曲线，方程为
36x2y2??1.???????????????2分 |??3|?|??3|?43对应的轨迹C2是椭圆，方程为
123x2y2??1，设点A的坐标为?x,y?， （3）由（2）知，轨迹C2：
12312x 4334122，x?[?23,23]???????????????2分 ?x2?2x0x?x0?3?(x?x0)2?3?x04433334124当0?x0?23即0?x0?时，|AB|2min?3?x0??0?x0?5
23333323834?x0?当x0?23即x0?时，|AB|min?|x0?23|?，????????????2分
233383综上 0?x0?5或x0?.????????????????????????????????2分
3则|AB|2?(x?x0)2?y2?(x?x0)2?3?
【课后练习】
x221.若点O和点F(?2,0)分别是双曲线2?y?1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,
a????????则OP?FP的取值范围为__________________。[3?23,??)
2.若直线y=x+b与曲线y?3?4x?x2有公共点，则b的取值范围是________________。?1?22,3?
???x2y23.设椭圆方程为2?2?1?a?0,b?0?，且a?2b．过椭圆的左焦点F且倾斜角为的直线与椭圆
3ab
13
12x2交于两点A?x1,y1?,B?x2,y2?，且x1?x2??，求椭圆的方程．?y2?1
72x2y24．已知F1,F2为椭圆C:2?2?1,?a?b?0?的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线
abMF2交椭圆于M，设MF2?d .
（1）证明：d,b,a 成等比数列； （2）若M的坐标为
?2,1，求椭圆C的方程；
?????????（3）[文科] 在（2）的椭圆中，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，若OA?OB?0，求直线l的方
程．
[理科] 在（2）的椭圆中，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，若椭圆C上存在点P，使得
????????????OP?OA?OB，求直线l的方程．
(1)证明：由条件知M点的坐标为?c,y0?，其中y0?d，
c2d2c2b2?2?2?1,d?b?1?2?， ?? 3分 abaa?db?，即d,b,a成等比数列． ?? 4分 ba?b2?a?1(2)由条件知c?2,d?1，??2 ?? 6分 2a?b?2??x2y2?a?2?1 ?? 8分 ???椭圆方程为?42??b?2（3）[文科]设点A(x1,y1)、B(x2,y2)，
????????当l?x轴时，A(?2,?1)、B(?2,1)，所以OA?OB?0． ?? 9分
设直线l的方程为y?k(x?2)，
代入椭圆方程得(1?2k2)x2?42k2x?4k2?4?0．????? 11分
?42k2x?x2??,?2?11?2k????????????????? 13分 所以?2?x?x?4k?412??1?2k2
14
????????由OA?OB?0得x1?x2?y1?y2?0
x1?x2?k2(x1?2)(x2?2)?(1?k2)x1?x2?2k2(x1?x2)?2k2?0
(1?k2)(4k2?4)42k2?2k2代入得??2k2?0，解得k??2． 221?2k1?2k所以直线l的方程为y??2(x?2)． ?? 16分 [理科]设点P（x,y），A(x1,y1)、B(x2,y2)，由 OP?OA?OB，得?当l?x轴时，A(?2,?1)、B(?2,1)，
此时P(?22,0)不在椭圆上． ?? 9分 设直线l的方程为y?k(x?2)，代入椭圆方程得
?????????????x?x1?x2
?y?y1?y2(1?2k2)x2?42k2x?4k2?4?0． ?? 11分
?42k2,?x?x1?x2??2?1?2k所以? ? 13分
2?y?y?y?k(x?x?22)?k(?42k?22)?22k1212?1?2k21?2k2?132k48k22k?把点P（x,y）代入椭圆方程得，解得， ??1222224(1?2k)2(1?2k)所以直线l的方程为y??2(x?2)． ?? 16分 25．设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y?2x2上，l是AB的垂直平分线， （1）当且仅当x1?x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论； (2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围。
解：（Ⅰ）F?l?|FA|?|FB|?A,B两点到抛物线的准线的距离相等.
∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1?0,y2?0,依题意y1,y2不同时为0，
2∴上述条件等价于y1?y2?x12?x2【 ?(x1?x2)(x1?x2)?0;‘
∵x1?x2， ∴上述条件等价于 x1?x2?0.
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