8．在平面直角坐标系xOy中，过定点C(p,0)作直线与抛物线y2?2px(p?0)相交于A,B两点，设动点A(x1,y1)、B(x2,y2)。 (1)求证：y1y2为定值；
(2)若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求?ADB面积的最小值；
(3)是否存在平行于y轴的定直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由。
9. 圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之
x2?y2?1。 为曲线的垂轴弦。已知椭圆C：4（1）过椭圆C的右焦点作一条垂直于x轴的垂轴弦MN，求MN的长度；
（2）若点P是椭圆C上不与顶点重合的任意一点，MN是椭圆C的短轴，直线MP、NP分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0)（如右图），求xE?xF的值；
O N M P F E x x2y2（3）在（2）的基础上，把上述椭圆C一般化为2?2?1(a?b?0)，MN是任意一条垂直于
abx轴
的垂轴弦，其它条件不变，试探究xE?xF是否为定值？（不需要证明）；请你给出双曲线
x2y2?2?1(a?0,b?0)中相类似的结论，并证明你的结论。 2ab
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复习专题二
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的重点内容，除在客观题中考查外，解答题对解析几何的考查也以直线与圆锥曲线的位置关系为主。本专题的复习内容与要求是：
1．掌握研究直线与二次曲线的位置关系问题（如弦长、中点弦、对称等）的基本方法。 2．能够综合运用代数、三角、几何方面的知识解决直线与圆锥曲线的位置关系问题。 圆锥曲线的几种常见题型
（1）直线与圆锥曲线位置关系的判定；
（2）求直线与圆锥曲线相交的弦长的方法A(x1,y1),B(x2,y2)AB?______________________. （3）圆锥曲线的弦中点问题的解法 （4）解析几何中的最值和定值的方法： 【热身练习】
1、方向向量为a?(?1,?2)且与抛物线y?x2相切的直线的方程是______________。2x?y?1?0 2、“a=b”是“直线y?x?2与圆(x?a)2?(y?b)2?2相切”的______________条件。 充分不必要
条件
x2y2??1内一点M(1,1)的直线交椭圆于A,B两点，且满足AM?MB，则该直线的方程3、过椭圆
164_________。x?4y?5?0
4、直线y?x?3与抛物线y?4x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q，则梯形APQB的面积为______________.48
5、等轴双曲线C：x?y?1的左焦点为F，若点P为左下半支上任意一点（不同于左顶点），则直线PF的斜率的取值范围是________________。???,0???1,???
6、已知实数x，y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是_____________。4 7、已知圆M：(x?cos?)?(y?sin?)?1，直线l：y?kx，下列四个命题：
A、对任意实数k与?，直线l和圆M相切 B、对任意实数k与?，直线l和圆M有公共点
C、对任意实数?，必存在对实数k，使得直线l和圆M相切 D、对任意实数k，必存在实数?，使得直线l和圆M相切 其中真命题的代号是 （写出所有真命题）
顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y?2x?1截得的弦长为15，求抛物线方程。
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22222:设弦端点
y2?12x,y2??4x
【例题分析】
例1、已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M. (1)求抛物线方程;
(2)过M作MN⊥FA, 垂足为N,求点N的坐标;
(3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系.
[解](1) 抛物线y2=2px的准线为x=-
pp,于是4+=5, ∴p=2. 22 ∴抛物线方程为y2=4x.
(2)∵点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2), 又∵F(1,0), ∴kFA= 则FA的方程为y= ∴N的坐标(
43;MN⊥FA, ∴kMN=-, 344384(x-1),MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=,y=, 345584,). 55(1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,
当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离. 当m≠4时, 直线AK的方程为y=
4(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0, 4?m圆心M(0,2)到直线AK的距离d=∴当m>1时, AK与圆M相离; 当m=1时, AK与圆M相切; 当m<1时, AK与圆M相交.
2m?816?(m?4)2,令d>2,解得m>1
例2、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋22.记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程；
(2)经过点（0, 2）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；
?????????????（3）已知点M（2，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量OP?OQ与MN共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 解：(Ⅰ) 设C（x, y）,
∵ AC?BC＋AB?2?22, AB?2, ∴ AC?BC?22?2,
∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为22的椭圆除去与x轴的两个交点. ∴ a?2, c=1. ∴ b2?a2?c2?1.
[来源:学科网]
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∴ W: x?y2?1 (y?0). …
2(2) 设直线l的方程为y?kx?2，代入椭圆方程，得x?(kx?2)2?1.
2 整理，得(1?k2)x2?22kx?1?0. ①
2 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 ??8k2?4(1?k2)?4k2?2?0，解得k??2或k?2.
222∴ 满足条件的k的取值范围为 k?（??,?2222)?(,??) 22????????（3）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则OP?OQ＝（x1+x2，y1+y2),
由①得x1?x2??42k2. ②
1?2k 又y1?y2?k(x1?x2)?22 ③ ????? 因为M(2, 0)，N(0, 1)， 所以MN?(?2, 1).………
????????????? 所以OP?OQ与MN共线等价于x1?x2=-2(y1?y2).
将②③代入上式，解得k?2. 2????????????? 所以不存在常数k，使得向量OP?OQ与MN共线.
例3、已知点E、F的坐标分别是??2,0?、?2,0?，直线EP、FP相交于点P，且它们的斜率之积为?（1）求证：点P的轨迹在一个椭圆C上，并写出椭圆C的方程；
（2）设过原点O的直线AB交（1）中的椭圆C于点A、B，定点M的坐标为?1,?，试求?MAB面积
的最大值，并求此时直线AB的斜率kAB。 解：（1）设P?x,y?为轨迹上的动点，由题意
1。 4?1??2?yy1????x2?4y2?4 x?2x?24x2x22?y?1，?点P的轨迹在椭圆C:?y2?1上；------------4’ 即44（2）解法一：（Ⅰ）当直线AB垂直于x轴时，AB?2，此时S?MAB?1----------6’ （Ⅱ）当直线AB不垂直于x轴时，设该直线方程为y?kx，代入椭圆中 得：A、B两点的坐标为：????24k2?1,???， 24k?1?2k 9
则AB?41?k21?4k2---------------------------------------------------8’
k? 又点M到直线AB的距离d?122，------------------------9’
1?k ?S?MAB2k?11-----------------------------------10’ ?AB?d?221?4k4k2?4k?14k ??1?224k?14k?1 ?S?MAB 由
14kk????1，得，等号成立时 S?2?MAB24k2?11 综上，S?MAB的最大值是2，此时kAB??----------------12’
2解法二：?S?MAB?S?OMA?S?OMB，由椭圆的对称性可知A、B两点到直线OM的距离相等，设距离为
d，
于是S?OMA?S?OMB，即S?MAB?2S?OMA?OM?d?5?d， 2 ?当d取道最大值时，S?MAB最大，--------------------------------------------7’ 设直线OM:y? ?d?1x?x?2y?0，椭圆上的点A?x,y?， 22x?2y5x2?4xy?4y24?4xy4?d????1?xy?----------9’
555x2x22?y?xy?xy?1,1??y2??xy?xy??1 ?1?44 ??1?xy?1，当且仅当xy??1时，dmax?28210 ?dmax?55 ??S?MAB??OM?dmax? 而xy??1当且仅当
5210??2， 25x1??y时取得，?此时kAB??------------------ 22x2y2例4、设F1,F2分别是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左右焦点
ab3)到F1,F2两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标 (1)设椭圆C上的点(3,2(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程
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