增大，但气压过高后侧偏刚度不再变化。
3．轮胎的垂直载荷
由图5—10可以看出，同一侧偏角下，不同垂直载荷时的侧偏力不一样。一般情况，侧偏
图5-9 轮胎气压对侧偏刚度的影响图 5-10 不同垂直载荷下的侧偏力 刚度随垂直载荷的增加而加大，但垂直载荷过大时，轮胎产生很大的径向变形，侧偏刚度反而有所减小。侧偏刚度最大时的垂直载荷约为额定载荷的150％。
第三节 前轮角阶跃输入的瞬态响应
一、汽车转向时的运动微分方程
为了建立汽车转向运动的微分方程，首先应建立相应的力学模型。由于影响汽车转向 运动的因素较多，受力情况较为复杂。为了使问题的分 析更加简洁明了、突出重点,假设汽车只作平行于水平 路面的平面运动，忽略悬架的作用以及空气动力等的 作用，并认为汽车左右对称,前后轴上的每对车轮分别 用具有其两倍侧偏刚度的单个车轮来表示。这样，实 际汽车便简化成一个类似于摩托车的两轮汽车模型， 如图5—11所示。
值得注意的是，图5—11描述了汽车转向运动的 动态过程，O’仅为瞬时中心，汽车作刚体平面运动，而 并非作定轴转动。图中的有关参数如FY、 ?、rv以及 角度δ、α、β等均随时间而变化，惟独汽车前进速度v 假设为常量。系统的输入画数为前轮偏转角δ(t)（此 处δ(t)是 ? r泛指的函数,并非仅指阶跃函数),输出函数 (t)为横摆角速度 ? r和质心侧偏角 β(t)（在求解时, β (t)将被消去)。
根据力学原理可得，作平面运动汽车的运动微分方程为 5-11 二自由度汽车模型
FY2?FY1cos??may??.? ( 5－2 )
aFY1cos??bFY2?Iz?r??式中 Iz——汽车绕z轴的转动惯量。
考虑到δ角度较小，尤其是汽车高速行驶时更是如此，因此可近似认为cosδ≈1，同时把FY＝kα代入式(5—2)，得
k1?1?k2?2?may??.? ( 5－3 )
ak1?1?bk2?2?Iz?r??式中k1、k2——分别为前、后轴两侧车轮的总侧偏刚度，单位为N／rad。
下面确定汽车质心绝对加速度在y轴上的分量ay。参看图5-12，图中
5-12 利用动坐标系分析汽车的运动
ox与oy分别为动坐标系的纵轴和横轴。质心速度V于t时刻在ox轴上的分量为u，在oy轴上的分量为v。由于汽车转向行驶时伴有平移和转动，在t + △t时刻，质心速度的大小和方向发生变化，动坐标系的纵轴和横轴的方向亦发生变化，相对t时刻旋转了△θ角。冈此经过△t后，沿oy轴速度分量的变化量为
[(????)cos???usin??]??
考虑到△θ很小，cos△θ≈1，sin△θ≈△θ，上式可改写为
△v + u△θ
由此可得，汽车质心绝对加速度沿横轴oy上的分量ay为
???u??)
?t?0?td?d??u ? dtdt
ay?lim( ???u?r
前、后侧偏角α1，α2与有关参数的关系可利用
图5—11和图5—13来确定。图中V1，V2分别为
??前、后轴中点的速度，β为质心侧偏角， ? 。
??为V1与V2轴的夹角，其值为
v?a?r ? ?
?
a?
??? r （5-4） 图5-13 汽车转向运动速度
?
从而可得
??1?????????a?r????? ( 5 - 5 ) b?r??b?r?2?????????分析图将式(5—4)、(5—5)代人式(5—3)，整理后得汽车转向运动微分方程式为将式
1?m(v?u?r)?(k1?k2)??(ak1?bk2)?k1??u?? ( 5 - 6 )
??Iz?r?(ak1?bk2)??r(a2k1?b2k2)?ak1???u??二、前轮角阶跃输入下的瞬态响应
下面利用式(5—6)导出汽车前轮输入角为阶跃函数时，汽车横摆角速度的瞬态响 应 ? t。) r(由上述第二式得
?1
ak1??Iz?r?(a2k1?b2k2)?r求导数得 u??ak1?bk2
????122ak1??Iz?r?(ak1?bk2)?r且 ?u?? ak1?bk2??
v?u?
代人第一式，消去?和?后，经整理得到如下的二阶非齐次线性微分方程
? 2?r?2??0?r??0?r?B1??B0? ????式中
bk2 ?ak1L2k1k2?0??mu2Iz Iz2?0-------固有频率，rad/s；
m(a2k1? b2k2)?Iz(k1?k2)?? 2?muI0z?--------阻尼比；
B1?ak1;IzB0?当输入画数δ(t)为阶跃函数时，则有
Lk1k2。 muIz???(t)??0?????(t)?0故当t>0后，式（5-7）改写为
t?0t?0
2?r?2??0? r??0?r?B0?0??? 下面通过求解方程(5—12)即可求得角阶跃输入下的瞬态响应ωr(t)。由高等数学的知识
可知，方程的解等于它的一个特解和相应的齐次方程的通解之和。 方程的特解为 B??r ?020对应的齐次方程?r?2??0?r??0?r?0的特征方程为
??S???0S2?200由于正常的汽车均为小阻尼系统，即?＜1。 因此特征方程的根为一对共扼复根 式中 i??1齐次方程的通解为
2????02S???? 0??01??2i?r?A1e???tcos?dt?A2e???tsin?dt
00式中
?d——有阻尼自由振荡频率。
2?d??1??； 0A1，A 2——待定的积分常数。
因此，微分方程(5—12)的解即瞬态响应为
?r(t)?B0?0?02?A1e???0tcos?dt?A2e???0tsin?dt ( 5 - 15 )
下面来确定积分常数A1，A 2。
汽车转向运动的初始条件为：t＝0时，ωr＝0，β＝0，δ＝δ0。根据微分方程组(5—6)的第二式，还可求得t＝0时，
?ak?
?r?10?B1?0 Iz
由t＝0时，ωr＝0，即可求得Al为
B0?0? ? A 1 2 ( 5 - 16 )
由t＝0时，?r?B1?0，即可求得A2为
??0A2 ?令C?A1?A2
22B0?0B121(????)00?d?02B0??arctgA1 A2则式(5—15)可改写为
?r(t)?B0?0?02?Ce???0tsin(?dt??)式中的C和φ均与时间无关，此处不再详述。
从上式可以看出，当输人为角阶跃函数时，其瞬态响应为一个常数项与正弦衰减振荡曲线的更加，见图5—14。图中?r(?)就是响应曲线的稳态值，记作?rs。
图5—14 前轮角阶跃输入下的图态响应
三、表征瞬态响应品质的几个主要参救
1．上升时间tr
上升时间又称响应时间，它是指响应曲线ωr(t)从零开始上升后，第一次到达稳态位所需的时间：在某些文献资料中，对上升时间亦有不同的定义，例如定义tr为第一次到达0.9ωrs所需时间。各种定义方法，对于定性分析均无本质差异。
2．峰值时间tp
指响应曲线ωr(t)从零开始，到达第一个峰值ωr(tp)所需的时间。
3．超调量ζp
指瞬态过程的最大偏差ωr(tp)—ωr(∞)与稳态值ωr(∞)之比，即
?p??r(tp)??r(?)?100％ （5－19）
?r(?)超调量是一个相对值，它反映了系统响应过程中的最大偏差，?p希望小一些为好。 4．稳定时间ts
旨先定义一个误差带。在瞬态响应曲线ωr(t)的稳态值ωr(∞)上的上、下各取一个允许 误差△(见图5—14)。在汽车操纵稳定性的分析中，取△＝0.05ωrs。这样在稳态值上下2△ 的区域内就构成了一个误差带。
稳定时间ts是指这样一个时间，当t＞ts时，
?r(t)??r(?)?0.05?r(?)
即响应曲线ωr(t)在 t ? ts 时，就水远处在误差带之内。 工程上认为，当 t ? t s 时，瞬态响应过程结束，系统进入稳态响应过程。上述三个时间tr, tp, ts均表征系统对输入信号作出反应的快速性，希望三者均小一些为好图5—15为美国的汽车试验标准，图中满意范围实际上表明了对上述四个参数的要求，可供参考。