第一章 随机事件与随机事件的概率
§1.1 随机事件
引例一，掷两次硬币，其可能结果有： ｛上上；上下；下上；下下｝
则出现两次面向相同的事件A与两次面向不同的事件B都是可能出现，也可能不出现的。
引例二，掷一次骰子，其可能结果的点数有： ｛1，2，3，4，5，6｝
则出现偶数点的事件A，点数≤4的事件B都是可能出现，也可能不出现的事件。 从引例一与引例二可见，有些事件在一次试验中，有可能出现，也可能不出现，即它没有确定性结果，这样的事件，我们叫随机事件。
（一）随机事件：在一次试验中，有可能出现，也可能不出现的事件，叫随机事件，习惯用A、B、C表示随机事件。
由于本课程只讨论随机事件，因此今后我们将随机事件简称事件。 虽然我们不研究在一次试验中，一定会出现的事件或者一定不出现的事件，但是有时在演示过程中要利用它，所以我们也介绍这两种事件。
必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用Ω表示必然事件。 例如，掷一次骰子，点数≤6的事件一定出现，它是必然事件。
不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用φ表示不可能事件。
例如，掷一次骰子，点数>6的事件一定不出现，它是不可能事件。 （二）基本（随机）事件
随机试验的每一个可能出现的结果，叫基本随机事件，简称基本事件，也叫样本点，习惯用ω表示基本事件。
例如，掷一次骰子，点数1,2,3,4,5,6分别是基本事件，或叫样本点。
全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间，记作Ω，当然Ω是必然事件。 （三）随机事件的关系
（1）事件的包含：若事件A发生则必然导致事件B发生，就说事件B包含事件A，记作。
例如，掷一次骰子，A表示掷出的点数≤2，B表示掷出的点数≤3。∴A=｛1，2｝，B=｛1，2，3｝。
所以A发生则必然导致B发生。 显然有 （2）事件的相等：若，且就记A=B，即A与B相等，事件A等于事件B，表示A与B实际上是同一事件。 （四）事件的运算
（1）和事件：事件A与事件B中至少有一个发生的事件叫事件A与事件B的和事件，记作：
或A+B
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝ 则和事件A+B=｛1，2，3，5｝ 显然有性质 ①
②若，则有A+B=B ③A+A=A
（2）积事件：事件A与事件B都发生的事件叫事件A与事件B的积事件，记作：AB或A∩B 例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，则AB=｛1，3｝ 显然有性质：
①
②若，则有AB=A ③AA=A （3）差事件：事件A发生而且事件B不发生的事件叫事件A与事件B的差事件，记作（A-B） 例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，则A-B=｛5｝ 显然有性质：
① ②若，则有A-B=Φ ③A-B=A-AB
（4）互不相容事件：若事件A与事件B不能都发生，就说事件A与事件B互不相容（或互斥）即AB=Φ
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛2，4｝ ∴AB=Φ
（5）对立事件：事件A不发生的事件叫事件A的对立事件。记作 例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝，则 显然，对立事件有性质： ① ② ③
注意：A与B对立，则A与B互不相容，反之不一定成立。 例如在考试中A表示考试成绩为优，B表示考试不及格。A与B互不相容，但不对立。 下面图1.1至图1.6用图形直观的表示事件的关系和运算，其中正方形表示必然事件或样本空间Ω。
图1.1表示事件事件A 图1.2阴影部分表示A+B 图1.3阴影部分表示AB 图1.4阴影部分表示A-B 图1.5表示A与B互不相容
图1.6阴影部分表示
事件的运算有下面的规律：
（1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律 （2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律 （AB）C=A（BC） （3）A（B+C）=AB+AC
（A+B）（A+C）=A+BC叫分配律
（4）
叫对偶律
例1，A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示以下事件。 （1）A，B，C三事件中，仅事件A发生 【答疑编号：10010101针对该题提问】 （2）A，B，C三事件都发生
【答疑编号：10010102针对该题提问】 （3）A，B，C三事件都不发生
【答疑编号：10010103针对该题提问】 （4）A，B，C三事件不全发生
【答疑编号：10010104针对该题提问】 （5）A，B，C三事件只有一个发生 【答疑编号：10010105针对该题提问】 （6）A，B，C三事件中至少有一个发生 【答疑编号：10010106针对该题提问】
解：（1） （2）ABC （3） （4） （5）
（6）A+B+C
例2.某射手射击目标三次：A1表示第1次射中，A2表示第2次射中，A3表示第3次射中。B0表示三次中射中0次，B1表示三次中射中1次，B2表示三次中射中2次，B3表示三次中射中3次，请用A1、A2、A3的运算来表示B0、B1、B2、B3 【答疑编号：10010107针对该题提问】 解：（1）
（2） （3） （4）
例3 ，A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示下列事件。 （1）A，B都发生且C不发生
【答疑编号：10010108针对该题提问】 （2）A与B至少有一个发生而且C不发生 【答疑编号：10010109针对该题提问】
（3）A，B，C都发生或A，B，C都不发生 【答疑编号：10010110针对该题提问】 （4）A，B，C中最多有一个发生
【答疑编号：10010111针对该题提问】 （5）A，B，C中恰有两个发生
【答疑编号：10010112针对该题提问】 （6）A，B，C中至少有两个发生
【答疑编号：10010113针对该题提问】 （7）A，B，C中最多有两个发生
【答疑编号：10010114针对该题提问】
简记AB+AC+BC
简记
解：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）
例4，若Ω=｛1，2，3，4，5，6｝；A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝ 求（1）A+B；
【答疑编号：10010115针对该题提问】 （2）AB；
【答疑编号：10010116针对该题提问】
；
（3）
【答疑编号：10010117针对该题提问】 （4）
；
【答疑编号：10010118针对该题提问】 （5）
；
【答疑编号：10010119针对该题提问】 （6）
；
【答疑编号：10010120针对该题提问】 （7）
，
【答疑编号：10010121针对该题提问】 （8）
。
【答疑编号：10010122针对该题提问】 解：（1）A+B=｛1，2，3，5｝； （2）AB=｛1，3｝； （3） （4） （5） （6） （7） （8）
=｛2，4，6｝； =｛4，5，6｝； =｛4，6｝； =｛2，4，5，6｝； =｛2，4，5，6｝； =｛4，6｝
=；
，
=
正确
由本例可验算对偶律， 例5，（1）化简
【答疑编号：10010123针对该题提问】 （2）说明AB与
是否互斥
【答疑编号：10010124针对该题提问】 解：（1）
（2）