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故所求的二面角的大小为
?6.
?AGC为二面角A?BD?C的平面角，，
C?BD作AG?BD于G，连GC，则G?AGC?60?.不妨设AC?23，则AG?2,GC?4.在RT?ABD中，由AD?AB?BD?AD?A，易得G6.
设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面
BCD13所成
13的角为?。利用
S?B1BC?DE?S?BCD?h，可求得h?23，又可
hB1C求
12得
B1C?43
sin??????3?0 .即B1C与平面BCD所成的角为30?.
分析二：作出B1C与平面BCD所成的角再行求解。如图可证得BC?面AFED，所以面AFED?面BDC。由分析一易知：四边形AFED为正方形，连AE、DF，并设交点为O，则EO?面BDC，?OC为EC在面BDC内的射影。
??ECO即为所求。以下略。
?分析三：利用空间向量的方法求出面BDC的法向量n，则B1C与平面BCD所成的角?????即为B1C与法向量n的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。
总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。
9．（本小题共14分）
D底面是正方形，如图，四棱锥P?ABC的
PD?底面ABCD，点E在棱PB上.
（Ⅰ）求证：平面AEC?平面PDB；
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（Ⅱ）当PD?2AB且E为PB的中点时，求AE与
平面PDB所成的角的大小.
【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系D?xyz， 设AB?a,PD?h,
则A?a,0,0?,B?a,a,0?,C?0,a,0?,D?0,0,0?,P?0,0,h?，
????????????（Ⅰ）∵AC???a,a,0?,DP??0,0,h?,DB??a,a,0?，
????????????????∴AC?DP?0,AC?DB?0，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB， ∴平面AEC?平面PDB.
?112?2AB且E为PB的中点时，P0,0,2a,E?a,a,a?，
?2?22??（Ⅱ）当PD??? 设AC∩BD=O，连接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
?????112??????2? ∵EA??a,?a,?a?,EO??0,0,?a?，
?2???222????????????EA?EO2∴cos?AEO????， ??????2EA?EO∴?AOE?45，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.
10.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分） 如题（18）图，在五面体ABCDEF中，AB//DC，∠BAD=
π2??，
CD=AD=2.，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，FC=3，ED=
7，求：
（Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离： （Ⅱ）二面角F-AD-E的平面角的正切值， 18.（本小题满分12分）
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如图4，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE?AE。 （I） （II）
证明平面ADE?平面ACC1A1
2AA
求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。
解 （I） 如图所示，由正三棱柱ABC?A1B1C1的性质知AA1?平面A1B1C1 又DE?平面A1B1C1，所以DE?AA1.
而DE?AE。AA1?AE=A 所以DE?平面AC C1A1，又DE?平面ADE，故平面ADE?平面AC C1A1。
解法2 如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设 A A1=2，则AB=2，相关各点的坐标分别是
3212A(0,-1,0)， B（3，0，0）， C1（0，1，2）， D（
32，-，2）。
易知AB=(3，1，0)， AC1=(0，2，2)， AD=(设平面ABC1的法向量为n=（x，y，z）,则有 ?AB?3x?y?0,??n·??? ?AC1?2y?2z?0,??n·?，-
12，2）
解得x=-
33y， z=-2y，
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故可取n=(1，-3，6)。 所以，cos(n·AD)=n·ADn·AD=2310?3=
105。
由此即知，直线AD和平面AB C1所成角的正弦值为11.（本小题满分12分）
105。
如图3，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4, AA1=7,点D是BC的中点，点E在AC上，且DE?A1E
（Ⅰ）证明：平面A1DE?平面ACC1A1;
（Ⅱ）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值。
解法2 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各 点的坐标分别是A(2,0,0,), A1.(2,0,
7), D(-1, 3), E(-1,0.0)
????????????易知A1B=（-3，3，-7），DE=（0，-3，0），AD=（-3，3，0）
设n=（x，y，z）是平面A1DE的一个法向量，则
{uuuvn?DE??3y?0uuuuvn?A1D??3x?3y?7z?0
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解得x??73z,y?0
故可取n=（7,0,-3，）于是
uuurcosn,ADuuurn?AD?uuurn?AD =?374?23??218
由此即知，直线AD和平面A1DE所成的角是正弦为12．（本小题满分12分）
218
在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?平面ABCD，PA?AD?4，
AB?2. 以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小； （3）求点N到平面ACM的距离. 方法二： （1）同方法一；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,4)，
B(2,0,0)， C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)；设平面ACM的?????????????2x?4y?0一个法向量n?(x,y,z)，由n?AC,n?AM可得：?，
2y?2z?0?AOzPMN?Dy?C令z?1，则
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