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(
Ⅱ
)
解
易
知
?P??B(?1??,0?3? B,?E，）2，)2?,?(0????????13PA?(0,0,?2),AD?(,,0)
22?????????n1?PB?0, 设n1?(x1,y1,z1)是平面PBE的一个法向量，则由??????得 ???n1?BE?0?x1?0?y1?2z1?0,???所以y1?0,x1?2z1.故可取n1?(2,0,1). ?3y2?0?z2?0.?0?x1??2????????????n2?PA?0, 设n2?(x2,y2,z2)是平面PAD的一个法向量，则由???得???????n2?AD?0?0?x2?0?y2?2z2?0,????所以z2?0,x2??3y2.故可取n2?(3,?1,0). ?13y2?0?z2?0.?x2??22
??????????n?n223于是，cos?n1,n2????1?????5?2n1?n2155.
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是arccos155.
4. （2008福建18）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面 ABCD，侧棱PA=PD＝2，底面ABCD为直角梯形， 其中BC∥ AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为值；若不存在，请说明理由.
（Ⅰ）证明 在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,
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32？若存在，求出
AQQD 的
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又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD?平面ABCD=AD, PO?平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD.
????????????(Ⅱ)解 以O为坐标原点，OC、OD、OP的方向分别为x轴、y轴、
z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
????????所以CD＝（?1，1，0），PB＝（1，?1，?1）.
63所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，
(Ⅲ)解 假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为????????由(Ⅱ)知CP?(?1,0,1),CD?(?1,1,0).
32，
设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).
???????x0?z0?0,?n?CP?0,则?????所以?即x0?y0?z0，
?x?y?0,00???n?CD?0,取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).
????设Q(0,y,0)(?1?y?1),CQ?(?1,y,0),由
??????CQ?nn?32，得?1?y3?32,
解y=-
12或y=
1252(舍去)，
32此时AQ?,QD?，所以存在点Q满足题意，此时
AQQD?13.
5. （2007福建理?18）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有 棱长都为2，D为CC1中点。 （Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD； （Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小； （Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离； （Ⅰ）证明 取BC中点O，连结AO．
?△ABC为正三角形，?AO⊥BC．
?在正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
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?AD⊥平面BCC1B1．
?????????????取B1C1中点O1，以O为原点，OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空
间直角坐标系，则B(1，2，0)， 0，3)，B1(1，23)，A(0，0，0)，D(?1，1，0)，A1(0，，?????AB1?(1，2，?????????1，0)，BA1?(?1，3)，BD?(?2，2，3)．
?????????????????AB1?BD??2?2?0?0，AB1?BA1??1?4?3?0， ?????????????????AB1⊥BD，AB1⊥BA1．
z A A1?AB1⊥平面A1BD．
F C O B B1（Ⅱ）解 设平面A1AD的法向量为n?(x，y，z)．
????AD?(?1，1，?????3)，AA1?(0，2，0)．
D C1?????????n⊥AD，n⊥AA1，
y ??????n?AD?0，???x?y?3z?0，??y?0，?????? ???????2y?0，?x??3z．?n?AA1?0，?x
令z?1得n?(?3，0，1)为平面A1AD的一个法向量． 由（Ⅰ）知AB1⊥平面A1BD，
?????AB1为平面A1BD的法向量．
????????n?AB1?3?36cos?n，AB1????． ?????42?22n?AB1?二面角A?A1D?B的大小为arccos64．
????（Ⅲ）解 由（Ⅱ），AB1为平面A1BD法向量， ?????????BC?(?2，0，0)，AB1?(1，2，?3)．
????????BC?AB1?22C． ???点到平面A1BD的距离d?????222AB16.（2006广东卷）如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直
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径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径， AB＝AC＝6，OE//AD.
(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小； (Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.
解 (Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角， 依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450. 即二面角B—AD—F的大小为450.
(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，?32，0），B（32，0，0）,D（0，?32，8），E（0，0，8），F（0，32，0）
所以，BD?(?32,?32,8),FE?(0,?32,8)
BD?FE|BD||FE|0?18?64100?828210cos?BD,EF????.
设异面直线BD与EF所成角为?， 则cos??|cos?BD,EF?|?8210
直线BD与EF所成的角为arccos8210
7.（2005江西）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动. （1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为
?4D1A1DAEBB1C1C.
以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x, y, z轴，建 立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），
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E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）
（1）证明 因为DA1,D1E?(1,0,1),(1,x,?1)?0,所以DA1?D1E. （2）解 因为E为AB的中点，则E（1，1，0）， 从而D1E?(1,1,?1),AC?(?1,2,0)， AD1?(?1,0,1)，
D1A1zB1C1设平面ACD1的法向量为n?(a,b,c)， ??n?AC?0,则? ??n?AD1?0,DoCEByx，得??a?2b?a?cA也即???a?2b?0??a?c?0，从而n?(2,1,2)，所以点E到平面AD1C的距离为
h?|D1E?n||n|?2?1?23?13.
（3）解 设平面D1EC的法向量n?(a,b,c)， ∴CE?(1,x?2,0),D1C?(0,2,?1),DD1?(0,0,1),
??2b?c?0?n?D1C?0,??由? 令b=1, ∴c=2,a=2－x，
??a?b(x?2)?0.?n?CE?0,∴n?(2?x,1,2). 依题意cos?4?|n?DD1||n|?|DD1|?22?2(x?2)?53 .
2?22.
∴x1?2?∴AE=2?3（不合，舍去），x2?2?3时，二面角D1—EC—D的大小为
?4.
第二部分 四年联考汇编
2010年联考题
题组二（5月份更新）
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