高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家
??????CD?n6， n?(2,?1,1)。设所求角为?，则sin????????3CDn 所以所求角的大小为arcsin63。
83（3）由条件可得，AN?NC.在Rt?PAC中，PA2?PN?PC,所以PN?NC?PC?PN?103,则
,
NCPC?59，所以所求距离等于点P到平面ACM距离的
59，设点P?????AP?n265106?到平面ACM距离为h则h?，所以所求距离为h?。 ?3927n
19（本小题满分12分）
如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互 相垂直，△ABE是等腰直角三角形，
AB?AE,FA?FE,?AEF?45
?（I）求证：EF?平面BCE；
（II）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM?平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； （III）求二面角F?BD?A的大小。 (Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,
所以AE⊥AB.
又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE?平面ABEF, 平面ABEF∩平面ABCD=AB, 所以AE⊥平面ABCD. 所以AE⊥AD.
因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz. 设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) , E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).
www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 36 -
高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家
因为FA=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°. 从而，F(0,?11,). 22?????????11???所以EF?(0,?,),BE?(0,?1,1),BC?(1,0,0).
22????????????????11EF?BE?0???0,EF?BC?0.
22所以EF⊥BE, EF⊥BC.
因为BE?平面BCE,BC∩BE=B ,
所以EF⊥平面BCE.
(Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE. M ( 0,0,
12 ), P ( 1,
12,0 ).
?????11 从而PM=(?1,?,),
22?????????1111于是PM·EF=(?1,?,)·(0,?,?)=0
2222 所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，
故PMM∥平面BCE. ????????????8分
????(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为n1，并设n1=（x,y,z）.
uuuvBD?（1，?1，0） ，
uuuv31BF?（0，?，）
22uvuuuv??n1gBD?0v?uvuuu 即
??n1gBF?0?x?y?0??31 ?y?z?0??22???取y=1，则x=1，z=3。从而n1?。 （1，1，3）???取平面ABD的一个法向量为n2?。 （0，0，1）uvuuvuuvuuvn1gn2cos(n1,n2)?uvuuv?n1n2311g1?31111。
故二面角F—BD—A的大小为arccos
14.（本题满分14分）
31111。??????????????12分
www.ks5u.com 版权所有@高考资源网
- 37 -
高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?BC?AB?2,
AB?BC,求二面角B1?A1C?C1的大小。
简答：
?3
2005—2008年高考题
解答题
1. （2008全国Ⅱ19）（本小题满分12分） D1 A1 C1 B1 如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB?4，点E在CC1上且C1E?3EC．
（Ⅰ）证明：A1C?平面BED；
E
D A B C
（Ⅱ）求二面角A1?DE?B的大小．
以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，
2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，，1)A1(2，0，4)．建立如图所示直角坐标系D?xyz．依题设，B(2， ????????DE?(0，，，21)DB?(2，，20)，
z D1 A1 C1 B1 ?????????A1C?(?2，2，?4)，DA1?(2，0，4)．
????????????????（Ⅰ）证明 因为A1C?DB?0，A1C?DE?0，
E D x A B C y 故A1C?BD，A1C?DE． 又DB?DE?D， 所以A1C?平面DBE．
www.ks5u.com 版权所有@高考资源网
- 38 -
高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家
（Ⅱ）解 设向量n?(x，y，z)是平面DA1E的法向量，则
?????????n?DE，n?DA1．
故2y?z?0，2x?4z?0．
令y?1，则z??2，x?4，n?(4，1，?2)．
????n，A1C等于二面角A1?DE?B的平面角，
cosn,A1C?n?A1CnA1C?1442．
所以二面角A1?DE?B的大小为arccos1442．
2. （2008安徽）如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD四边长 为1的菱形，?ABC??4, OA?底面ABCD, OA?2,M为
OOA的中点，N为BC的中点
（Ⅰ）证明：直线MN‖平面OCD；
M（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
作AP?CD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为
x,y,z轴建立坐标系
ABNCD
A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,22,0),D(?22,22,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1?24,24,0),
?????2(1)证明 MN?(1?4,24????2,?1O),P?(0,?2????2,O2D)?,?2(22? ,,2)????????设平面OCD的法向量为n?(x,y,z),则n?OP?0,n?OD?0
?2y?2z?0??2即 ? 22??x?y?2z?0??22zOMwww.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 39 - ADyxBNCP高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家
取z?2,解得n?(0,4,2)
2424?????∵MN?n?(1?,,?1)?(0,4,2)?0
?MN‖平面OCD
?????????(2)解 设AB与MD所成的角为?,∵AB?(1,0,0),MD?(?2222,,?1)
?????????AB?MD?1? ∴cos , AB与MD所成角的大小为. ?????∴,?????????323AB?MD(3)解 设点B到平面OCD的距离为d，
????则d为OB在向量n?(0,4,2)上的投影的绝对值,
???? 由 OB?(1,0,?2), 得d?????OB?nn?23.所以点B到平面OCD的距离为
23
3. （2008湖南17 ）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面
ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD 的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的 坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），
C(32,32,0),D(12,32,0),P（0，0，2）,E(1,32,0).
（Ⅰ）证明 因为BE?(0,32,0)，
平面PAB的一个法向量是n0?(0,1,0)， 所以BE和n0共线.从而BE⊥平面PAB. 又因为BE?平面PBE， 故平面PBE⊥平面PAB.
www.ks5u.com 版权所有@高考资源网
- 40 -