∴ 振动方程 (2) 速率
x?52?10?2?t3?cos(?)
44?2(SI) 1分 (SI) 2分
?52??10dxv??dt4?t3?sin(?)44当t = 0 时，质点在A点 v??52?dx??10dt4?2sin(?3?)?3.93?104?2 m/s 1分
mF 3、一质量为m的质点在力F = -?2x的作用下沿x轴运动．求
0其运动的周期．
解：将F = -?2x与F = -kx比较，知质点作简谐振动，
k = ?2． 3分 又 ?
?km2?x
??2?mm 4分 3分
T??
4、一物体同时参与两个同方向的简谐振动：
x1?0.04cos2(?t?1?) 2 (SI),
x2?0.03cos(2?t??) (SI)
求此物体的振动方程．
(t??) 解：设合成运动（简谐振动）的振动方程为 x?Acos?则
A2?A1?A2?2A1A2cos?(2??1)
22 ① 2分
以 A1 = 4 cm，A2 = 3 cm，?2
A???1???42211???22代入①式，得
?3cm?5 cm 3分
②
又 ?A1sin?1?A2sin?2?arctgA1cos?1?A2cos?2 ≈127°≈2.22 rad 3分 ∴ x?0.05cos(2?t?2.22) (SI) 2分
- 21 -
5、在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放．已知物体在32 s内完成48次振动，振幅为5 cm．
(1) 上述的外加拉力是多大？
(2) 当物体在平衡位置以下1 cm处时，此振动系统的动能和势能各是多少？
解一：(1) 取平衡位置为原点，向下为x正方向．设物体在平衡位置时弹簧的伸长量为?l，则有mg?k?l, 加拉力F后弹簧又伸长x0，则
F?mg?k(?l?x0)?0
解得 F= kx0 2分 由题意，t = 0时v 0 = 0；x = x0? 则 又由题给物体振动周期T?3248A?x0?(v0/?)?2?T22?x0 2分
2 s, 可得角频率 ?,
k?m?
∴ F?kA?(4?2m/T2)A?0.444 N 1分 (2) 平衡位置以下1 cm处： v2?(2?/T)2(A2?x2) 2分
EpEK??1212mv22?1.07?1022?2 J 2分
?12kx2(4?m/T)x = 4.44×10-4 J 1分
解二：(1) 从静止释放，显然拉长量等于振幅A（5 cm），
F?kA 2分
k?m?2?4m?2?2，? = 1.5 Hz 2分 ∴ F = 0.444 N 1分 (2) 总能量
E?12kA2?12FA?1.11?10?2 J 2分
当x = 1 cm时，x = A/5，Ep占总能量的1/25，EK占24/25． 2分 ∴ EK?(24/25)E?1.07?10?2 J， Ep?E/25?4.44?10?4 J 1分
6、如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24 N/m，重物的质量m = 6 kg，重物静止在平衡位置上．设以一水平恒力F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05 m时撤去力F．当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程．
m F x O
- 22 -
解：设物体的运动方程为 x?Acos?(t??)．
恒外力所做的功即为弹簧振子的能量： F×0.05 = 0.5 J． 2分 当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能为0.5 J，即：
12kA2?0.5 J， ∴ A = 0.204 m． 2分
A即振幅． ?2?k/m?4 (rad/s)2
? = 2 rad/s． 2分 按题目所述时刻计时，初相为? = ?．∴ 物体运动方程为 2分
x?0.204cos2(t??) (SI)． 2分
教师评语 教师签字 月 日 - 23 -
第八章 波动
课 后 作 业
1、一平面简谐波沿x轴正向传播，波的振幅A = 10 cm，波的角频率? = 7? rad/s.当t = 1.0 s时，x = 10 cm处的a质点正通过其平衡位置向y轴负方向运动，而x = 20 cm处的b质点正通过y = 5.0 cm点向y轴正方向运动．设该波波长? >10 cm，求该平面波的表达式．
解：设平面简谐波的波长为?，坐标原点处质点振动初相为?，则该列平面简谐波的表达式可写成
y?0.1cos7(?t?2?x/???) (SI) t = 1 s时 y?0.1cos7[??2?(0.1/?)??]?0 因此时a质点向y轴负方向运动，故
7??2?(0.1/?)???12? 而此时，b质点正通过y = 0.05 m处向y轴正方向运动，应有
y?0.1cos[7??2?(0.2/?)??]?0.05 且
7??2?(0.2/?)????13? 由①、②两式联立得 ?? = 0.24 m ???17?/3 ∴ 该平面简谐波的表达式为
y?0.1cos[7?t??x0.12?173?]
(SI) 或 y?0.1cos[7?t??x0.12?13?]
(SI)
y (m) u = 0.08 m/s P x (m) O 0.20 0.40 0.60 -0.04
2、图示一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，求 (1) 该波的波动表达式； (2) P处质点的振动方程．
解：(1) O处质点，t = 0 时
y0?Acos??0， v0??A?sin??0 所以 ???12?
- 24 -
2分
① 2分
② 2分
1分 1分 2分
2分
又 故波动表达式为
T??/u? (0.40/ 0.08) s= 5 s 2分
t5?x0.4)??2]
y?0.04cos2[?( (SI) 4分
3?2 (2) P处质点的振动方程为
yP?0.04cos2[?(t5?0.20.4)??2]?0.04cos0(.4?t?) (SI) 2分
3、沿x轴负方向传播的平面简谐波在t = 2 s时刻的波形曲线如图所示，设波速u = 0.5 m/s． 求：原点O的振动方程．
y (m)0.5O1ut = 2 s2x (m)
解：由图，? = 2 m， 又 ∵u = 0.5 m/s，∴ ? = 1 /4 Hz， 3分 T = 4 s．题图中t = 2 s =
12T1．t = 0时，波形比题图中的波形倒退?，见
2图． 2分
此时O点位移y0 = 0（过平衡位置）且朝y轴负方向运动，
∴ ?∴
4、一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，波的表达式为 而另一平面简谐波沿Ox轴负方向传播，波的表达式为
y?Acos2?(?t?x/?),
?12? 2分 (SI) 3分
11y?0.5cos(?t??)22
y?2Acos2?(?t?x/?)
求：(1) x = ? /4 处介质质点的合振动方程；
(2) x = ? /4 处介质质点的速度表达式．
解：(1) x = ? /4处
y1?Acos2(??t?12?)
,
y2?2Acos(2??t?12?) 2分
∵ y1，y2反相 ∴ 合振动振幅 初相一样为
12?As?2A?A?A , 且合振动的初相? 和y2的
． 4分
- 25 -