题9-14 图
（2） 图（a）中点P 的位置是质点从A／2 处运动到正向的端点处．对应的旋转矢量图如图（c） 所示．当初相取0??π/3时，点P 的相位为?p??0??tp?0?0（如果初相取成
0?5π/3，则点P 相应的相位应表示为
（3） 由旋转矢量图可得ωtp?0?π/3，则tp?1.6s．
9-15 作简谐运动的物体，由平衡位置向x 轴正方向运动，试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几？ （1） 由平衡位置到最大位移处；（2） 由平衡位置到x ＝A/2 处； （3） 由x ＝A/2处到最大位移处．
解 采用旋转矢量法求解较为方便．按题意作如图所示的旋转矢量图，平衡位置在点O． （1） 平衡位置x1 到最大位移x3 处，图中的旋转矢量从位置1 转到位置3，故Δ则所需时间
1??p?0?ω?tp?0??2π．
???π/2，
?t1???1/??T/4
（2） 从平衡位置x1 到x2 ＝A/2 处，图中旋转矢量从位置1转到位置2，故有Δ则所需时间
2?π/6，
?t2???2/??T/12
（3） 从x2 ＝A/2 运动到最大位移x3 处，图中旋转矢量从位置2 转到位置3，有Δ3?π/3，则所需时间
?t3???3/??T/6
题9-15 图
9-16 在一块平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0 kg的重物．现使平板沿竖直方向作上下简谐运动，周期为0.50ｓ，振幅为2.0×10-2 m．求：（1） 平板到最低点时，重物对平板的作用力；（2） 若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？ （3） 若振幅不变，则平板以多大的频率振动时， 重物会跳离平板？
题9-16 图
分析 按题意作示意图如图所示．物体在平衡位置附近随板作简谐运动，其间受重力P 和板支持力FN 作用，FN 是一个变力．按牛顿定律，有
d2yF?mg?FN?m2 （1）
dtd2y2 由于物体是随板一起作简谐运动，因而有a?2??A?cos??t???，则式（1）可改写
dt为
FN?mg?mA?2cos??t??? （2）
（1） 根据板运动的位置，确定此刻振动的相位?t??，由式（2）可求板与物体之间的作用力．
（2） 由式（2）可知支持力FN 的值与振幅A、角频率ω和相位（?t??）有关．在振动过程中，当ωt??π时FN最小．而重物恰好跳离平板的条件为FN＝0，因此由式（2）可
分别求出重物跳离平板所需的频率或振幅．
解 （1） 由分析可知，重物在最低点时，相位?t??＝0，物体受板的支持力为
FN?mg?mA?2?mg?mA?2?/t??12.96N ? 与FN大小相等，方向相反． 重物对木块的作用力FN2（2） 当频率不变时，设振幅变为A′．根据分析中所述，将FN＝0及ωt?中式（2），可得
?π代入分析
A??mg/mω2?gT2/4π2?6.2?10?2m
（3） 当振幅不变时，设频率变为v?．同样将FN＝0及ωt??π代入分析中式（2），
可得
9-17 两质点作同频率、同振幅的简谐运动．第一个质点的运动方程为x1?Acos??t???，当第一个质点自振动正方向回到平衡位置时，第二个质点恰在振动正方向的端点，试用旋转矢量图表示它们，并求第二个质点的运动方程及它们的相位差．
ω21v???mg/mA?3.52Hz
2π2π
题9-17 图
解 图示为两质点在时刻t 的旋转矢量图，可见第一个质点M 的相位比第二个质点N 的相位超前?/2，即它们的相位差Δφ＝π/2．故第二个质点的运动方程应为
x2?Acos??t????/2?
9-18 图（a）为一简谐运动质点的速度与时间的关系曲线，且振幅为2cm，求（1） 振动周期；（2） 加速度的最大值；（3） 运动方程．
分析 根据v-t 图可知速度的最大值vmax ，由vmax ＝Aω可求出角频率ω，进而可求出周期T 和加速度的最大值amax ＝Aω2 ．在要求的简谐运动方程x ＝Acos（ωt ＋φ）中，因为A 和ω已得出，故只要求初相位φ即可．由v －t 曲线图可以知道，当t ＝0 时，质点运动速度v0 ＝vmax/2 ＝Aω/2，之后速度越来越大，因此可以判断出质点沿x 轴正向向着平衡点运动．利用v0 ＝－Aωsinφ就可求出φ．
解 （1） 由vmax?A?得??1.5s，则 （2）amax?1T?2π/ω?4.2s
?A?2?4.5?10?2m?s?2
sin???1/2 ??π/6,?5π/6
（3） 从分析中已知v0??Aωsin?Aω/2，即
??5π/6，其旋转矢量图如图（b）所示．则运
动方程为 x?2cos?1.5t?5π/6??cm?
因为质点沿x 轴正向向平衡位置运动，则取
题9-18 图
9-19 有一单摆，长为1.0m，最大摆角为5°，如图所示．（1） 求摆的角频率和周期；（2） 设开始时摆角最大，试写出此单摆的运动方程；（3） 摆角为3°时的角速度和摆球的线速度各为多少？
题9-19 图
分析 单摆在摆角较小时（θ＜5°）的摆动，其角量θ与时间的关系可表示为简谐运动方程???maxcos??t???，其中角频率ω仍由该系统的性质（重力加速度g 和绳长l）决定，即
??g/l．初相φ与摆角θ，质点的角速度与旋转矢量的角速度（角频率）均是不同的物理
概念，必须注意区分．
解 （1） 单摆角频率及周期分别为
ω?g/l?3.13s?1;T?2π/ω?2.01s
（2） 由t?0时???max?5可得振动初相??0，则以角量表示的简谐运动方程为
oπcos3.13t 36 （３） 摆角为3°时，有cos??t?????/?max?0.6，则这时质点的角速度为
θ?d?/dt???max?sin??t??????max?1?cos2??t?????0.80?max???0.218s线速度的大小为
?1
v?ld?/dt??0.218s?1
讨论 质点的线速度和角速度也可通过机械能守恒定律求解，但结果会有极微小的差别．这是因为在导出简谐运动方程时曾取sin???，所以，单摆的简谐运动方程仅在θ 较小时成立．
9-20 为了测月球表面的重力加速度，宇航员将地球上的“秒摆”（周期为2.00ｓ），拿到月球上去，如测得周期为4.90ｓ，则月球表面的重力加速度约为多少？ （取地球表面的重力加速度gE?9.80m?s）
222解 由单摆的周期公式T?2πl/g可知g?1/T，故有gM/gE?TE/TM，则月球的
?2重力加速度为
gM?TE/TMgE?1.63m?s?2
9-21 一飞轮质量为12kg，内缘半径r ＝0.6ｍ，如图所示．为了测定其对质心轴的转动惯量，现让其绕内缘刃口摆动，在摆角较小时，测得周期为2.0s，试求其绕质心轴的转动惯量．
??2
9-21 题图
分析 飞轮的运动相当于一个以刃口为转轴的复摆运动，复摆振动周期为
T?2πJ/mglc，因此，只要知道复摆振动的周期和转轴到质心的距离lc，其以刃口为转轴
的转动惯量即可求得．再根据平行轴定理，可求出其绕质心轴的转动惯量．
22解 由复摆振动周期T?2πJ/mglc，可得J?mgrT/4π．则由平行轴定理得
J0?J?mr2?mgrT2/4?2?mr2?2.83kg?m2
9-22 如图（a）所示，质量为1.0 ×10-2kg 的子弹，以500m·s-1的速度射入木块，并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐运动，设木块的质量为4.99 kg，弹簧的劲度系数为8.0 ×103 N·m-1 ，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为x 轴正向，求简谐运动方程．