Em?LI2/2?1.25?10?4sin22000πtE?Ee?Em?1.25?10?4?J?
?J?
（3） 由ω?2πv?2π/T，可得T ＝0.001 ｓ，则当t1 ＝T/8 时，由上述各式可得
I1??1.57?10?2sin?2000πT/8???1.11?10?2A
U1?100cos?2000πT/8??70.7V
Ee1?1.25?10?4cos2?2000πT/8??6.25?10?5JEm1?1.25?10?4sin?2000πT/8??6.25?102?5J
同理，当t2?π/4时可得
U2?0;I2??1.57?10?2A;Ee2?0;Em2?1.25?10?4J
由上述结果可以看出LC 电路在无阻尼振荡过程中，总的电磁场能量是不变的，即满足能量守恒定律．
第十章 波 动
10-1 图（a）表示t ＝0 时的简谐波的波形图，波沿x 轴正方向传播，图（b）为一质点的振动曲线．则图（a）中所表示的x ＝0 处振动的初相位与图（b）所表示的振动的初相位分别为（ ）
题10-1 图
ππ （Ｃ） 均为? 22ππππ（Ｄ） 与? （Ｅ） ?与
2222（Ａ） 均为零 （Ｂ） 均为
分析与解 本题给了两个很相似的曲线图，但本质却完全不同．求解本题要弄清振动图和波形图不同的物理意义．图（a）描述的是连续介质中沿波线上许许多多质点振动在t 时刻的位移状态．其中原点处质点位移为零，其运动方向由图中波形状态和波的传播方向可以知道是沿y 轴负向，利用旋转矢量法可以方便的求出该质点振动的初相位为π/2．而图（b）是一个质点的振动曲线图，该质点在t ＝0 时位移为0，t ＞0 时，由曲线形状可知，质点向y 轴正向运动，故由旋转矢量法可判知初相位为－π/2，答案为（D）．
10-2 机械波的表达式为y?0.05cos?6πt?0.06πx??m?，则（ ） （Ａ） 波长为100 ｍ （Ｂ） 波速为10 ｍ·ｓ-1 （Ｃ） 周期为1/3 ｓ （Ｄ） 波沿x 轴正方向传播 分析与解 波动方程的一般表式为y?Acos???t??????x?????，其中A 为振幅，φ为初相，u 为u??波速．x/u 前的“-”表示波沿x 轴正向传播，“+”表示波沿x轴负向传播．因此将原式写为
y?0.05cos?6π?t?x/100???m?和一般式比较可知（Ｂ）、（Ｄ） 均不对．而由ω＝2π/T ＝6π
ｓ-1 可知T ＝（1/3）ｓ．则λ＝uT ＝33.3 m，因此（Ａ）也不对．只有（Ｃ）正确．
10-3 一平面简谐波，沿x 轴负方向传播，角频率为ω，波速为u．设t?T时刻的波形如4图（a）所示，则该波的表达式为（ ）
???x????x??A?y?Acos????t???By?Acos???????t??????u????u?2?????x???x???C?y?Acos????t??By?Acos?t?????????????u?2???u?
题10-3 图
分析与解 因为波沿x 轴负向传播，由上题分析知（Ａ）、（B）表式不正确．找出（C）、（D）哪个是正确答案，可以有很多方法．这里给出两个常用方法．方法一：直接将t ＝T/4，x＝0 代入方程，那么对（C）有y0 ＝A、对（D）有y0 ＝0，可见（D）的结果与图一致．方法二：用旋转矢量法求出波动方程的初相位．由图（a）可以知道t ＝T/4 时原点处质点的位移为0，且向y 轴正向运动，则此时刻的旋转矢量图如图（b）所示．要求初相位，只要将该时刻的旋转矢量反转（顺时针转）Δφ＝ω·Δt ＝ω·T/4 ＝π/2，如图（b）所示，即得φ0 ＝π．同样得（D）是正确答案．
题10-4 图
10-4 如图所示，两列波长为λ的相干波在点P 相遇．波在点S1 振动的初相是φ1 ，点S1 到点P的距离是r1 ．波在点S2的初相是φ2 ，点S2 到点P 的距离是r2 ，以k 代表零或正、负整数，则点P 是干涉极大的条件为（ ）
?A?r2?r1?k??A??2??1?2k?
?A??2??1?2??r2?r1?/??2k??A??2??1?2??r1?r2?/??2k?分析与解 P 是干涉极大的条件为两分振动的相位差Δ?2kπ，而两列波传到P 点时的
两分振动相位差为Δ?2?1?2π?r2?r1?/λ，故选项（D）正确．
10-5 在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动（ ） （A） 振幅相同，相位相同 （B） 振幅不同，相位相同 （C） 振幅相同，相位不同 （D） 振幅不同，相位不同 分析与解 驻波方程为y?2Acos2πxcos2πvt，因此根据其特点，两波节间各点运动同相位，λ但振幅不同．因此正确答案为（B）．
10-6 频率为?＝1.25 ×104 Hz 的平面简谐纵波沿细长的金属棒传播，棒的弹性模量为E ＝1.90 ×1011 N·m -2 ，棒的密度ρ ＝7.6 ×103 Kg·m -3 ．求该纵波的波长．
分析 因机械波传播速度与介质性质有关，固体中纵波传播速度u?E/?．而波的特征
量波长λ与波速u、频率?之间有λ＝u/?．所以，频率一定的振动在不同介质中传播时，其波长不同．由上述关系可求得波长．
解 由分析可知金属棒中传播的纵波速度u?E/?，因此，该纵波的波长为
λ?u/v?E/ρv2?0.40m
10-7 一横波在沿绳子传播时的波动方程为y?0.20cos?2.5???x??m?．（1） 求波的振幅、波速、频率及波长；（2） 求绳上质点振动时的最大速度；（3） 分别画出t ＝1s 和t ＝2 s时的波形，并指出波峰和波谷．画出x ＝1.0 ｍ处质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同．
分析 （1） 已知波动方程（又称波函数）求波动的特征量（波速u、频率?、振幅A 及波长λ等），通常采用比较法．将已知的波动方程按波动方程的一般形式
???x?xy?Acos???t????0?书写，然后通过比较确定各特征量（式中前“-”、“+”的选取分别对
u??u??应波沿x 轴正向和负向传播）．比较法思路清晰、求解简便，是一种常用的解题方法．（2） 讨论波动问题，要理解振动物理量与波动物理量之间的内在联系与区别．例如区分质点的振动速度与波速的不同，振动速度是质点的运动速度，即v ＝dy/dt；而波速是波线上质点运动状态的传播速度（也称相位的传播速度、波形的传播速度或能量的传播速度），其大小由介质 的性质决定．介质不变，波速保持恒定．（3） 将不同时刻的t 值代入已知波动方程，便可以得到不同时刻的波形方程y ＝y（x），从而作出波形图．而将确定的x 值代入波动方程，便可以得到该位置处质点的运动方程y ＝y（t），从而作出振动图．
解 （1） 将已知波动方程表示为
y?0.20cos?2.5π?t?x/2.5???m?
与一般表达式y?Acos???t?x/u???0?比较，可得
A?0.20m,u?2.5m?s?1,?0?0
则 v?ω/2π?1.25Hz,（2） 绳上质点的振动速度
则 vmax?1.57m?s
?1λ?u/v?2.0m
v?dy/dt??0.5πsin?2.5π?t?x/2.5??m?s?1
??（3） t ＝1ｓ 和t ＝2ｓ 时的波形方程分别为
y1?0.20cos?2.5π?πx??m?y2?0.20cos?5π?πx??m?
波形图如图（a）所示． x ＝1.0m 处质点的运动方程为
y??0.20cos?2.5πt??m?
振动图线如图（b）所示．
波形图与振动图虽在图形上相似，但却有着本质的区别．前者表示某确定时刻波线上所有质点的位移情况，而后者则表示某确定位置的一个质点，其位移随时间变化的情况．
题10-7 图
10-8 波源作简谐运动，其运动方程为y?4.0?10cos240πt?3?m?，它所形成的波形以
30ｍ·ｓ-1 的速度沿一直线传播．（1） 求波的周期及波长；（2） 写出波动方程．
分析 已知波源运动方程求波动物理量及波动方程，可先将运动方程与其一般形式
y?Acos??t???进行比较，求出振幅A、角频率ω及初相φ0 ，而这三个物理量与波动方程的一般形式y?Acos???t?x/u???0?中相应的三个物理量是相同的．再利用题中已知的波速
u 及公式ω＝2πν ＝2π／T 和λ＝u T 即可求解．
解 （1） 由已知的运动方程可知，质点振动的角频率ω?240πs．根据分析中所述，波的周期就是振动的周期，故有
?1T?2π/ω?8.33?10?3s
波长为
λ＝uT ＝0.25 ｍ
（２） 将已知的波源运动方程与简谐运动方程的一般形式比较后可得A ＝4.0 ×10-3m，
ω?240πs?1，φ0 ＝0故以波源为原点，沿x 轴正向传播的波的波动方程为
y?Acos?ω?t?x/u??0??4.0?10?3cos?240πt?8πx?10-9 已知一波动方程为y?0.05sin?10πt-2x??m?
?m?．（1） 求波长、频率、波速和周