题9-22 图
分析 可分为两个过程讨论．首先是子弹射入木块的过程，在此过程中，子弹和木块组成的系统满足动量守恒，因而可以确定它们共同运动的初速度v0 ，即振动的初速度．随后的过程是以子弹和木块为弹簧振子作简谐运动．它的角频率由振子质量m1 ＋m2 和弹簧的劲度系数k 确定，振幅和初相可根据初始条件（初速度v0 和初位移x0 ）求得．初相位仍可用旋转矢量法求．
解 振动系统的角频率为
??k/?m1?m2??40s?1
由动量守恒定律得振动的初始速度即子弹和木块的共同运动初速度v0 为
v0?m1v?m1?m2??1.0m?s?1
2又因初始位移x0 ＝0，则振动系统的振幅为
A?2x0??v0/ω??v0/ω?2.5?10?2m
图（b）给出了弹簧振子的旋转矢量图，从图中可知初相位
0?π/2，则简谐运动方程为
x?2.5?10?2cos?40t?0.5π??m?
9-23 如图（a）所示，一劲度系数为k 的轻弹簧，其下挂有一质量为m1 的空盘．现有一质量为m2 的物体从盘上方高为h 处自由落入盘中，并和盘粘在一起振动．问：（1） 此时的振动周期与空盘作振动的周期有何不同？ （2） 此时的振幅为多大？
题9-23 图
分析 原有空盘振动系统由于下落物体的加入，振子质量由m1 变为m1 + m2，因此新系统的角频率（或周期）要改变．由于A?2x0??v0/ω?，因此，确定初始速度v0 和初始位移
2x0 是求解振幅A 的关键．物体落到盘中，与盘作完全非弹性碰撞，由动量守恒定律可确定盘与物体的共同初速度v0 ，这也是该振动系统的初始速度．在确定初始时刻的位移x0 时，应注意新振动系统的平衡位置应是盘和物体悬挂在弹簧上的平衡位置．因此，本题中初始位移x0 ，也就是空盘时的平衡位置相对新系统的平衡位置的位移．
解 （1） 空盘时和物体落入盘中后的振动周期分别为
T?2π/ω?2πm1/k T??2π/ω??2π可见T′＞T，即振动周期变大了．
（2） 如图（b）所示，取新系统的平衡位置为坐标原点O．则根据分析中所述，初始位移为空盘时的平衡位置相对粘上物体后新系统平衡位置的位移，即
?m1?m2?/k
x0?l1?l2?m1gm1?m2m?g??2g kkk式中l1 ＝m1/k 为空盘静止时弹簧的伸长量，l2 ＝（m1 ＋m2）/k 为物体粘在盘上后，静止时弹簧的伸长量．由动量守恒定律可得振动系统的初始速度，即盘与物体相碰后的速度
v0?式中v?m2m2v?2gh
m1?m2m1?m22gh是物体由h 高下落至盘时的速度．故系统振动的振幅为
22A?x0??v0/ω???m2g2kh1? km1?m2本题也可用机械能守恒定律求振幅A．
9-24 如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧，系一质量为m1 的物体，在水平面上作振幅为A的简谐运动．有一质量为m2 的粘土，从高度h 自由下落，正好在（a）物体通过平衡位置时，（b）物体在最大位移处时，落在物体上．分别求：（1）振动周期有何变化？ （2）振幅有何变化？
题9-24图
分析 谐振子系统的周期只与弹簧的劲度系数和振子的质量有关．由于粘土落下前后，振子的质量发生了改变，因此，振动周期也将变化．至于粘土如何落下是不影响振动周期的．但是，粘土落下时将改变振动系统的初始状态，因此，对振幅是有影响的．在粘土落到物体上的两种不同情况中，系统在水平方向的动量都是守恒的．利用动量守恒定律可求出两种情况下系统的初始速度，从而利用机械能守恒定律（或公式A?幅．
解 （1） 由分析可知，在（a）、（b）两种情况中，粘土落下前后的周期均为
2x0??v0/ω?）求得两种情况下的振
2T?2π/ω?2πm1/k T??2π/ω??2π物体粘上粘土后的周期T′比原周期T 大．
（2） （a） 设粘土落至物体前后，系统振动的振幅和物体经过平衡位置时的速度分别为A、v 和A′、v′．由动量守恒定律和机械能守恒定律可列出如下各式
?m1?m2?/k
kA?2/2?m1v2/2 （1）
kA?2/2??m1?m2?v?2/2 （2） m1v??m1?m2?v? （3）
联立解上述三式，可得
A??m1/?m1?m2?A
即A′＜A，表明增加粘土后，物体的振幅变小了．
（b） 物体正好在最大位移处时，粘土落在物体上．则由动量守恒定律知它们水平方向的共同速度v′＝m1v/（m1 ＋m2 ） ＝0，因而振幅不变，即
A′＝A
9-25 质量为0.10kg的物体，以振幅1.0×10-2 m 作简谐运动，其最大加速度为4.0 ｍ·s-1 求：（1） 振动的周期；（2） 物体通过平衡位置时的总能量与动能；（3） 物体在何处其动能和势能相等？ （4） 当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？
分析 在简谐运动过程中，物体的最大加速度amax?A?，由此可确定振动的周期T．另外，在简谐运动过程中机械能是守恒的，其中动能和势能互相交替转化，其总能量E ＝kA2/2．当动能与势能相等时，Ek ＝EP ＝kA2/4．因而可求解本题．
解 （1） 由分析可得振动周期
2T?2π/ω?2πA/amax?0.314s
（2） 当物体处于平衡位置时，系统的势能为零，由机械能守恒可得系统的动能等于总能量，即
11mA2?2?mAamax 22?2.0?10?3JEk?E?
（3） 设振子在位移x0 处动能与势能相等，则有
2kx0/2?kA2/4
得 x0??2A/2??7.07?10?3m
（４） 物体位移的大小为振幅的一半（即x?A/2）时的势能为
121?A?kx?k???E/4 22?2?则动能为 EK?E?EP?3E/4
EP?9-26 一氢原子在分子中的振动可视为简谐运动．已知氢原子质量m ＝1.68 ×10-27 Kg，振动频率?＝1.0 ×1014 Hz，振幅A ＝1.0 ×10-11ｍ．试计算：（1） 此氢原子的最大速度；（2） 与此振动相联系的能量．
解 （1） 简谐运动系统中振子运动的速度v ＝－Aωsin（ωt ＋φ），故氢原子 振动的最大速度为
vmax?ωA?2πvA?6.28?102m?s?1
（２） 氢原子的振动能量
2?20E?mvmJ ax/2?3.31?109-27 质量m ＝10g 的小球与轻弹簧组成一振动系统， 按x?0.5?8πt?π/3??cm?的规律作自由振动，求（1） 振动的角频率、周期、振幅和初相；（2） 振动的能量E；（3） 一个周期内的平均动能和平均势能．
解 （1） 将x?0.5?8πt?π/3??cm?与x?Acos??t???比较后可得：角频率ω?8πs，
?1振幅A ＝0.5cm，初相φ＝π/3，则周期T ＝2π/ω＝0.25 ｓ
（2） 简谐运动的能量 E?1mA2?2?7.90?10?5J 21mA2?2sin2??t??? 21EP?mA2?2cos2??t???
2EK?（3） 简谐运动的动能和势能分别为
则在一个周期中，动能与势能对时间的平均值分别为
1T1mA2?2222EK??mA?sin??t???dt??3.95?10?5J
T0241T1mA2?2222EP??mA?cos??t???dt??3.95?10?5J
T0249-28
已知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为
x1?0.05cos?10t?0.75π??m?；x2?0.06cos?10t?0.25π??m?．求：（1） 合振动的振幅及
初相；（2） 若有另一同方向、同频率的简谐运动x3?0.07cos?10t??3??m?，则?3为多少时，
x1 ＋x3 的振幅最大？ 又?3 为多少时，x2 ＋x3 的振幅最小？
题9-28 图
分析 可采用解析法或旋转矢量法求解.由旋转矢量合成可知，两个同方向、同频率简谐运动 的合成仍为一简谐运动，其角频率不变；合振动的振幅A?2A12?A2?2A1A2cos??2??1?，
其大小与两个分振动的初相差?2??1相关．而合振动的初相位
??arctan??A1sin?1?A2sin?2?/?A1cos?1?A2cos?2??
?2解 （1） 作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如图）．因为Δ动振幅为
?1??π/2，故合振
A?合振动初相位
2A12?A2?2A1A2cos??2??1??7.8?10?2m
??arctan??A1sin?1?A2sin?2?/?A1cos?1?A2cos?2???arctan11?1.48rad
（2） 要使x1 ＋x3 振幅最大，即两振动同相，则由Δ?2kπ得