89.（北京文18）已知函数（II）求
f?x???x?k?ex，（I）求
f?x?的单调区间；
f?x?在区间
?0,1?上的最小值。
/x/f?x?(??,k?1)f(x)?(x?k?1)ef解：（I），令(x)?0?x?k?1；所以在上
递减，在(k?1,??)上递增； （II）当k?1?0,即k?1时，函数
f?x?在区间
?0,1?上递增，所以f(x)min?f(0)??k；
f?x?在区间
当0?k?1?1即1?k?2时，由（I）知，函数
k?1f(x)?f(k?1)??emin上递增，所以；
?0,k?1?上递减，(k?1,1]当k?1?1,即k?2时，函数
f?x?在区间
?0,1?上递减，f(x)min?f(1)?(1?k)e。
所以
y(单位：千克)与
90.（福建理18）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量
销售价格x(单位：元/千克)满足关系式
y?a?10(x?6)2x?3，其中3?x?6，a为
常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(Ⅰ) 求a的值；
(Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所
获得的利润最大．
a?10?11?a?2y?11解：(Ⅰ)因为x?5时，所以2；
y?(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量
的利润：
2?10(x?6)2x?3，所以商场每日销售该商品所获得
f(x)?(x?3)[2?10(x?6)2]?2?10(x?3)(x?6)2,3?x?6x?3；
f/(x)?10[(x?6)2?2(x?3)(x?6)]?30(x?4)(x?6)，令f/(x)?0得x?4
函数f(x)在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当x?4时函数f(x)取得最大值
f(4)?42
答：当销售价格x?4时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42. 91.（福建文22）已知a、b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2，（e
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＝2.71828?是自然对数的底数）。 （Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅲ）当a＝1时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝t
1
与曲线y＝f(x)（x∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；
e若不存在，说明理由。 解：（Ⅰ）b＝2；（Ⅱ）a＞0时单调递增区间是（1，＋∞），单调递减区间是（0，1），a＜0
时单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，＋∞）；（Ⅲ）存在m，M；m的最小值为1，M的最大值为2。 92.（广东理21）
在平面直角坐标系xOy上,给定抛物线L:y?12x.实数p,q满足p2?4q?0,x1,x2是方程4x2?px?q?0的两根,记?(p,q)?max{|x1|,|x2|}.12p0)(p0?0)作L的切线交y轴于点B.证明:对线段AB上的作一点Q(p,q),4|p|有?(p,q)?0;2
(1)过点A(p0,2（2）设M(a,b)是定点，其中a,b满足a?4b＞0，a≠0.过M(a,b)作L的两条切线
l1,l2，切点分别为
E(p1,121p1),E'(P2,P22)l,l44，12与y分别交于F,F'.线段EF上
M(a,b)?X?P1?P2??(a,b)?|P1|2
异于两端点的点集记为X.证明：
?15?(3)设D??(x,y)y?x?1,y?(x?1)2??,当点（p,q）取遍D时，求44???（p,q）的最小值(记为?min)和最大值(记为?max).11kAB?y'|x?p0?(x)|x?p0?p022， 解：（１）
y?直线AB的方程为
；
12111p0?p0(x?p0)y?p0x?p024224，即，
?q?11p0p?p02222??p?4q?(p?p)x?px?q?0240，方程的判别式，
两根
x1,2?p?|p0?p|p0p?p?022或2，
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?p?p?|p?p00?0，
2|?||p|?|p02||，又0?|p|?|p0|，
??|p0|?|p|?|p0|?|p0|?|p?p0|?||p|?|p0||?|p0222|，得222，
??(p,q)?|p02|．
（２）由a2?4b?0知点M(a,b)在抛物线L的下方， ①当a?0,b?0时，作图可知，若M(a,b)?X，则p1?p2?0，得|p1|?|p2|；若
|p1|?|p2|，显然有点M(a,b)?X； ?M(a,b)?X?|p1|?|p2|．
②当a?0,b?0时，点M(a,b)在第二象限， 作图可知，若M(a,b)?X，则p1?0?p2，且|p1|?|p2|；
若
|p1|?|p2|，显然有点M(a,b)?X；
?M(a,b)?X?|p1|?|p2|．
根据曲线的对称性可知，当a?0时，M(a,b)?X?|p1|?|p2|，
综上所述，M(a,b)?X?|p1|?|p2|（*）
；
x由（１）知点M在直线EF上，方程x2?ax?b?0的两根
1,2?p12a?p1或2，
2a?p2同理点M在直线E'F'上，方程x2?ax?b?0x的两根
1,2?p2或2，
?(a,b)?|p1||p1||a?p1||p2p若
2||a?2|，则2不比2、2、
2小， ?|p1|?|p2|，又|p1|?|p2|?M(a,b)?X，
??(a,b)?|p12|?M(a,b)?Xb)?X??(a,b)?|p12|；又由（１）知，M(a,；??(a,b)?|p12|?M(a,b)?X，综合（*）式，得证． 用心 爱心 专心 28
（３）联立y?x?1，
y?15(x?1)2?44得交点(0,?1),(2,1)，可知0?p?2，
12x0?q1412?x0(x0,x0)x?p2， 4过点(p,q)作抛物线L的切线，设切点为，则02x?2px0?4q?0，解得x0?p?0得
p2?4q，
q?又
15(p?1)2?244，即p?4q?4?2p，
115?x0??t2?t?2??(t?1)2??x0?p?4?2p，设4?2p?t，222，
??max?|x055x0???max?|max2，4； 2，又
p2?4p?4?p?|p?2|?2，
?q?p?1，?x0?p???min?|x0|min?12．
2f(x)?lnx?a(1?a)x?2(1?a)x的单调性． a?093.（广东文19） 设,讨论函数
解：函数f(x)的定义域为（0，+∞） 2a(1?a)x2?2(1?a)x?1f'(x)?,x1当a?1时，方程2a(1?a)x2?2(1?a)x?1?0的判别式??12(a?1)(a?)31①当0
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0?a?13 1?a?13 a?1 (0,x1) ? (x1,x2) ? (x2,??) ? (0,??) ? (0,x1) ? (x1,??) ? x1?（其中
(a?1)(3a?1)(a?1)(3a?1)11?,x2??2a2a(1?a)2a2a(1?a)）
94.（湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，
大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超
过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20?x?200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0?x?200时，求函数v?x?的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆
/小时）f?x??x?v?x?可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解析：（Ⅰ）由题意：当0?x?20时，v?x??60；当20?x?200时，设v?x??ax?b，
1?a????3??200a?b?0?b?200?20a?b?60，解得?3 ?显然v?x??ax?b在?20,200?是减函数，由已知得?0?x?20,?60,??1?200?x?,20?x?200.?????vxvx故函数的表达式为=?3 0?x?20,?60x,??1x?200?x?,20?x?200.???fx??3（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当0?x?20时，f?x?为增函数，故当x?20时，其最大值为60?20?1200；
11?x??200?x??10000f?x??x?200?x?????3323， 20?x?200??当时，
2当且仅当x?200?x，即x?100时，等号成立．
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