x (0,? 23)3 233 (23,??)3 f?(x) f(x) 0 极大值 ? 单调递减 单调递增 PA?x?由上表易知：当
233时，有VA?-PBCD取最大值。
证明：作A?B得中点F，连接EF、FP，由已知得：
1EF//BC//PD?ED//FP2
?A?PB为等腰直角三角形，A?B?PF，所以A?B?DE.
1f?x??x3?mx2?nx3104.（江西文20）设.
? （1）如果g?x??f?x??2x?3在x??2处取得最小值?5，求f?x?的解析式；
（2）如果m?n?10?m,n?N??，f?x?的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n 的值．(注：区间?a,b?的长度为b?a）
.解：（1）已知
f?x??13x?mx2?nx'2???fx?x?2mx?n 3，
'2?????gx?fx?2x?3?x??2m?2?x?n?3在x??2处取极值， 又
'g则??2??2??2???2m?2??0?m?3，又在x??2处取最小值-5.
则
g??2????2????2??4?n?3??5?n?2，
2?f?x??13x?3x2?2x3
（2）要使
f?x??13x?mx2?nx'2???fx?x?2mx?n?0 3单调递减，则
'2??fx?x?2mx?n?0两根设做a，b。即有： 又递减区间长度是正整数，所以
b?a?b-a为区间长度。又
?a?b?2?4ab?4m2?4n?2m2?n?m,n?N??
又b-a为正整数，且m+n<10,所以m=2，n=3或，m?3,n?5符合。
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2f(x)?lnx?ax?(2?a)x．105.（辽宁理21）已知函数（I）讨论f(x)的单调性；
（II）设a?0，证明：当
0?x?111f(?x)?f(?x)a时，aa；
（III）若函数y?f(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：
f?（x0）＜0．
(x)?1x?2ax?(2?a)??(2x?1)(ax?1)x.解：（I）f(x)的定义域为(0,??),f?
（i）若a?0,则f?(x)?0,所以f(x)在(0,??)单调增加.
a?0,则由f?(x)?0得x?1 （ii）若
a,且当 x?(0,1a)时,f?(x)?0,当x?1a时,f?(x)?0.
f(x)在(0,1)(1,??所以a)单调增加，在a单调减少. g(x)?f(1?x)?f(1?（II）设函数aax),则
g(x)?ln(1?ax)?ln(1?ax)?2ax,?(x)?a1?ax?a1?ax?2a?2a3x2g1?a2x2.
0?x?1时,g?(x)?0,而g(0)?0,所以g(x)?0当a. 0?x?1时f(1?x)?f(1?故当ax).，aa
（III）由（I）可得，当a?0时,函数y?f(x)的图像与x轴至多有一个交点，
f(x)f(1),且f(1)?0.故a?0，从而的最大值为aa
A(x1,0),B(x不妨设
2,0),0?x1?x2,则0?x1?1a?x2.
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由（II）得
2f(?a1x)?11f(?1aa?x)1?f(从
而
x)?0.x2?x?x212?x1,于是x0?1?.a2a
f?(x0)?0.
由（I）知，
106.（辽宁文20）设函数f(x)=x+ax2+blnx，曲线y=f(x)过P（1,0），且在P点处的切斜
线率为2．
（I）求a，b的值；（II）证明：f(x)≤2x-2．
bf?(x)?1?2ax?.x 解：（I）
?f(1)?0,?1?a?0,即???f(1)?2.?1?2a?b?2.，解得a??1,b?3. 由已知条件得?2f(x)?x?x?3lnx. f(x)的定义域为(0,??) （II），由（I）知
2g(x)?f(x)?(2x?2)?2?x?x?3lnx,则 设
g?(x)?1??2x?3(x?1)(2x?3)??.xx
当0?x?1时,g?(x)?0;当x?1时,g?(x)?0.所以g(x)在(0,1)单调增加,在(1,??)单调减少.
而g(1)?0,故当x?0时,g(x)?0,即f(x)?2x?2.
f(x)?107.（全国Ⅰ理21）已知函数
程为x?2y?3?0。 （Ⅰ）求a、b的值；
alnxb?x?1x，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方
（Ⅱ）如果当x?0，且x?1时，
f(x)?lnxk?x?1x，求k的取值范围。
?(f'(x)?解：（Ⅰ）
x?1?lnx)b1x??(x?1)2x2，由于直线x?2y?3?0的斜率为2，且过点(1,1)，
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?f(1)?1,?b?1,????a11f'(1)??,?b??,??2即?22 故?
解得a?1，b?1。
2lnxk1(k?1)(x?1)nlx1f(x)?(?)?(2lnx?)f()x??2x?1x1?xxx?1x，（Ⅱ）由（Ⅰ）知所以。
(k?1)(x2?1)?2x(k?1)(x2?1)h'(x)?h(x)?2lnx?(x?0)x2x考虑函数，则。 k(x2?1)?(x?1)2h'(x)?x2k?0(i)设，由知，当x?1时，h'(x)?0。而h(1)?0，故
1h(x)?02h(x)?0x?(0,1)当时，，可得1?x； 12当x?（1，+?）时，h（x）<0，可得1?x h（x）>0
lnxklnxk从而当x>0,且x?1时，f（x）-（x?1+x）>0，即f（x）>x?1+x. 1'（ii）设0
112h（1）=0，故当x?（1，1?k）时，h（x）>0，可得1?xh（x）<0,与题设矛盾。
（iii）设k?1.此时h（x）>0,而h（1）=0，故当x?（1，+?）时，h（x）>0，可得
'11?x2 h（x）<0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-?，0]
108.（全国Ⅰ文21）设函数
f?x??x?ex?1??ax2
1f（Ⅰ）若a=2，求?x?的单调区间；
f（Ⅱ）若当x≥0时?x?≥0，求a的取值范围
（21）解：
a?（Ⅰ）
112f(x)?x(ex?1)?xxxx2时，2，f'(x)?e?1?xe?x?(e?1)(x?1)。当
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x????,?1?x???1,0?x??0,????0时f'(x)??;当时，f'(x);当时，
???,?1?，?0,???单调增加，在（-1，0）单调减少。 f'(x)?0。故f(x)在
aaxf(x)?x(x?1?ax)g(x)?x?1?axg'(x)?e?a。若a?1，则当（Ⅱ）。令，则
x??0,???时，g'(x)??，g(x)为减函数，而g(0)?0，从而当x≥0时g(x)≥0，
即f(x)≥0. 若a??，则当
x??0,lna?时，g'(x)??，g(x)为减函数，而g(0)?0，从而当
x??0,lna????,1?
时g(x)＜0，即f(x)＜0.综合得a的取值范围为
f(x)?ln(1?x)?2xx?2，证明：当x＞0时，f(x)＞0；
109.（全国Ⅱ理22）（Ⅰ）设函数
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取
91()19
220次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明：p＜10＜e.
【命题立意】：本小题主要考查函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识。通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力.
【解析】（Ⅰ）
12(x?2)?2xx2f?(x)????0,(x??1)22x?1(x?2)(x?1)(x?2)，（仅当x?0时
f?(x)?0）
故函数f(x)在(?1,??)单调递增.当x?0时，f(x)?0，故当x＞0时，f(x)＞0. （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则
20A10091p?10020，要证p＜（10）19＜e2. 抽得的20个号码互不相同的概率为
20A100919100?99?...?811009020p??（）??（）202010010 即证10090100 先证：
2221999?81?(90?9)?(90?9)?90?9?（90）99?98?...?81?（90）即证而 298?82?(90?8)?(90?8)?902?82?（90）………
291?89?(90?1)?(90?1)?902?12?（90）
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