则CE=∵CD∥EF， ∴
=
=x，
，即=，
解得x≈25.7．
答：山顶F的高约为25.7m．
23．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3=0（k是整数）． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； x（（2）若方程的两个不等的实数根分别为x1、，设y=2其中x1＜x2）
，
判断y是否为k的函数？如果是，请写出函数关系式；若不是，请说明理由．
【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【分析】（1）分类讨论：当k=0时，方程为以元一次方程，有解；当k≠0时，根据计算配不上得到△=（2k﹣1）2≥0，则可判断方程有两个实数解； （2）利用求根公式得到x1=1+
，x2=3，则y=1﹣（1+
）=
，于是可判断y
是k的反比例函数． 【解答】（1）证明：当k=0时，方程变形为﹣x+3=0，解得x=3；
当k≠0时，△=（4k+1）2﹣4k?（3k+3）=（2k﹣1）2≥0，方程有两个实数解，
所以不论k为何值，方程总有实数根； （2）根据题意得x=所以x1=
=1+
，x2=3， ）=
，
，
所以y=1﹣（1+
所以y是k的反比例函数．
24．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=
的图象交于点A（1，6），B
（3，n）两点．
（1）求一次函数的表达式； （2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积；
（3）点M是直线AB第一象限内图象上一点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若△MON的面积大于△BOD的面积，直接写出点M的横坐标x的取值范围．
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【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式即可求出m的值，再将x=3代入反比例函数解析式解得n的值，由此得出B点的坐标，结合A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，在y轴上任选一点不同于P点的P′点，由三角形内两边之和大于第三边来验证点P就是我们找到的使得PA+PB的值最小的点，由A点的坐标找出点A′的坐标，由待定系数法可求出直线A′B的函数表达式，令x=0即可得出P点的坐标；再结合三角形的面积公式与点到直线的距离即可求出△PAB的面积；
（3）设出点M的坐标，由MN⊥x轴，BD⊥y轴，可得出N、D的坐标，结合三角形的面积公式即可得出关于x的一元二次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：（1）将点A（1，6）代入反比例函数y=得6=
，即m=6．
．
上，
中，
故反比例函数的解析式为y=
∵点B（3，n）在反比例函数y=∴n=
=2．
即点B的坐标为（3，2）． 将点A（1，6）、点B（3，2）代入y=kx+b中， 得
，解得：
．
故一次函数的解析式为y=﹣2x+8．
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，如图1所示．
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在y轴上任取一点P′（不同于点P）， ∵A、A′关于y轴对称， ∴AP=A′P，AP′=A′P′，
在△P′A′B中，有A′P′+BP′=AP′+BP′＞A′B=A′P+BP=AP+BP， ∴当A′、P、B三点共线时，PA+PB最小． ∵点A的坐标为（1，6）， ∴点A′的坐标为（﹣1，6）．
设直线A′B的解析式为y=ax+b， 将点A′（﹣1，6）、点B（3，2）代入到y=ax+b中， 得
，解得：
．
∴直线A′B的解析式为y=﹣x+5， 令x=0，则有y=5．
即点P的坐标为（0，5）．
直线AB解析式为y=﹣2x+8，即2x+y﹣8=0． AB=
=2
，点P到直线AB的距离d=
×2
=3．
=
．
△PAB的面积S=AB?D=×
（3）依照题意作出图形，如图2所示．
设M点的坐标为（x，﹣2x+8），则N点的坐标为（x，0）． ∵点B为（3，2）， ∴点D为（0，2）．
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∴OD=2，BD=3，ON=x，MN=8﹣2x． ∵△MON的面积大于△BOD的面积， ∴
ON?MN＞
OD?BD，即x（8﹣2x）＞2×3，
解得：1＜x＜3．
25．在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中点，点E是AC上异于点C的一动点，过C、D、E三点的⊙O交BC与点F，连结CD、DE、DF、EF． （1）△FED与△ABC相似吗？以图1为例说明理由； （2）若AC=6，BC=8， ①求⊙O半径r的范围；
②如图2，当⊙O与AB相切于点D时，求⊙O半径r的值．
【考点】圆的综合题． 【分析】（1）先由直角三角形斜边的中线是斜边的一半，得出等腰三角形，得出∠BCD=∠B，再得出∠BCD=∠FEC，从而判断出结论． （2）由△FED∽△ABC得出
，计算即可；
（3）先判断出FD=FB，EA=ED，再用勾股定理得出，（6﹣4x）2+（8﹣3x）2
=（5x）2，计算即可． 【解答】解：（1）△FED∽△ABC，
理由：∵∠ACB=90°，点D是AB中点， ∴∠BCD=∠B，
∵在⊙O中，∠BCD=∠FEC， ∴∠FED=∠B， ∵∠ACB=90°，
∴EF为⊙O的直径， ∴∠EDF=90°， ∴∠EDF=∠ACB， ∴△FED∽△ABC； （2）在Rt△ABC中，AB=当点E与点A中和时，EF最长， 由（1）有，△FED∽△ABC ∴∴
， ，
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=10，
∴EF=，
AB=5，
当圆心O落在CD上时，EF最短，此时EF=CD=∴5≤EF≤∴
≤r≤
， ；
（3）连接OD，
∵⊙O与AB相切与D， ∴∠ODB=90°，
∴∠FDB+∠ODF=90°， ∵△FED∽△ABC， ∴∠EFD=∠A， ∵OD=OF，
∴∠EFD=∠ODF， ∴∠ODF=∠A， ∵∠A+∠B=90°， ∴∠FDB=∠B， ∴FD=FB，
同理：EA=ED， ∵△FED∽△ABC， ∴
，
设DE=4x，DF=3x，
∴AE=4x，BF=3x，EF=5x， ∴CE=6﹣4x，CF=8﹣3x， 根据勾股定理得，（6﹣4x）2+（8﹣3x）2=（5x）2， ∴x=EF=5x=
，
，
．
∴⊙O的半径r为
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x﹣3与x轴相交于点B、y轴相交于点C，过点B、C的抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于另一点A，顶点为D点．
（1）求tan∠OCA的值；
（2）若点P为抛物线上x轴上方一点，且∠DAP=∠ACB，求点P的坐标； （3）若点Q为抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴上一动点，试探究当点Q为何位置时∠OQC最大，请求出点P的坐标及sin∠OQC的值．
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