【考点】二次函数综合题；解一元二次方程-公式法；圆周角定理；锐角三角函数的定义． 【分析】（1）可先求出点B、C的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式，然后求出点A的坐标，就可解决问题； （2）过点P作PE⊥x轴于E，如图1，易证∠DAH=∠OCB=45°，由∠DAP=∠ACB可得∠PAB=∠OCA，然后利用（1）中的结论运用三角函数就可解决问题； （3）运用圆周角定理和三角形的外角的性质可得：当点Q在线段OC的垂直平分线上时，∠OQC最大，如图2①，过点O作OG⊥CQ于G，如图2②，运用勾股定理可求出OQ、CQ，然后运用面积法求出OG，问题得以解决． 【解答】解：（1）∵点B、C分别是直线y=x﹣3与x轴、y轴的交点， ∴点B（3，0），点C（0，﹣3）． 把点B（3，0），点C（0，﹣3）代入y=﹣x2+bx+c，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x﹣3． 令y=0，得﹣x2+4x﹣3=0， 解得x1=1，x2=3， ∴点A（1，0），OA=1， ∴tan∠OCA=
=
；
（2）过点P作PE⊥x轴于E，如图1，
设点P的坐标为（x，﹣x2+4x﹣3），
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则PE=﹣x2+4x﹣3，AE=x﹣1． 令y=0，得﹣x2+4x﹣3=0， 解得x1=1，x2=3， ∴B（3，0）， ∴OB=OC=3． ∵∠BOC=90°， ∴∠OCB=45°．
由y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1得， 顶点D（2，1），对称轴为x=2， ∴AH=DH=1． ∵∠DHA=90°， ∴∠DAH=45°，
∴∠DAH=∠OCB=45°． ∵∠DAP=∠ACB， ∴∠PAB=∠OCA， ∴tan∠PAB=tan∠OCA=
，
∴==﹣=﹣（x﹣3）=，
解得：x=．
）2+4×
﹣3=
，
此时﹣x2+4x﹣3=﹣（则点P（
，
）；
（3）当点Q在线段OC的垂直平分线上时，∠OQC最大，如图2①，
理由：在对称轴上任取一点Q′，连接OQ′，CQ′， 设OQ′与△OQC的外接圆⊙O′交于点S，连接CS， ∵∠OQC=∠OSC，∠OSC＞∠OQ′C， ∴∠OQC＞∠OQ′C，
∴当点Q在线段OC的垂直平分线上时，∠OQC最大． 过点O作OG⊥CQ于G，如图2②，
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∵OT=TC=OC=，QT=2，
），
∴点Q的坐标为（2，﹣OQ=CQ=∵S△
OQC=
=
OC?QT=
． CQ?OG，
∴OG===，
∴sin∠OQC===．
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2016年7月5日
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