由条件③，有
n?yAsin()??nan?1??Bnsin(n?1?n?y)a （1）
n?n?y??Ansin()?aan?1??Bnn?1?qn?n?ysin()?l?(y?d)aa ?0 （2）
由式（1），可得
An?Bn （3）
sin(m?ya)将式（2）两边同乘以
，并从0到a对y积分，有
2qlAn?B??(y?d)sin(n?y2qlnn??0?a0a)dy?n?dn??sin()0a 由式（3）和（4）解得
Aqln?dn?Bn?
n??sin(0a)
?q?l1n?d?n?xa1(x,y)?故
???sin()esin(n?y)0n?1naa ?q?l12(x,y)????sin(n?d)en?xasin(n?ya)0n?1na (x?0) 4.7 如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷
ql。求槽内的电位函数。
解 由于在
(x0,y0)处有一与z轴平行的线电荷ql，以
x?x0为界将
场空间分割为
0?x?x0和x0?x?a两个区域，则这两个区(x0,y0)域中的电位?1(x,y)和?2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在x?x0的
分界面上，可利用?函数将线电荷ql表示成电荷面密度
?(y)?ql?(y?y0)，电位的边界条件为
6
（4） (x?0) y b ql o a x
题4.7图
① ② ③
?1(0,y=)，0?2(a,y)?0
?1(x,0)=?1(x,b)?0 ?2(x,0)=?2(x,b)?0
?1(x0,y)??2(x0,y )x?x0(??2??1?)?x?x??ql?0?(y?y0)
由条件①和②，可设电位函数的通解为
?1(x,y)??Ansin(n?1??n?yn?x)sinh()bb (0?x?x0) n?yn?)sinh[(a?x)](x?x?a) bb 0?2(x,y)???Bnsin(n?1由条件③，有
?n?x0n?yn?yn?Asin()sinh()?Bsin()sinh[(a?x0)]??nnbbbbn?1n?1 （1） ??Ann?1n?x0n?n?ysin()cosh()?bbb
qln?n?yn???(y?y0)Bnsin()cosh[(a?x0)]??0bbbn?1 （2）
?由式（1），可得
Ansinh(n?x0n?)?Bnsinh[(a?x0)]?0bb （3）
sin(将式（2）两边同乘以
m?y)b，并从0到b对y积分，有
2qln?x0n??Ancosh()?Bncosh[(a?x0)]n??0bb?b0?(y?y0)sin(n?y)dy?b
7
2qln?y0sin()n??0b （4）
由式（3）和（4）解得
An?
2qln?y01n?sinh[(a?x0)]sin()sinh(n?ab)n??0bb
Bn?2qln?x0n?y01sinh()sin()sinh(n?ab)n??0bb
?1(x,y)?故
1n?sinh[(a?x0)]???0n?1nsinh(n?ab)b 2ql??sin(n?y0n?xn?y)sinh()sin()bbb (0?x?x0)
?2(x,y)??sin(若以
n?x01sinh()???0n?1nsinh(n?ab)b 2ql?n?y0n?n?y)sinh[(a?x)]sin()bbb (x0?x?a)
y?y0为界将场空间分割为0?y?y0和y0?y?b两个区域，则可类似地得到
?1(x,y)??sin(2ql??0?nsinh(n?ba)sinh[an?1?1n?(b?y0)]
n?x0n?yn?x)sinh()sin()aaa (0?y?y0)
?2(x,y)??sin(n?y01sinh()???0n?1nsinh(n?ba)a 2ql?n?x0n?n?x)sinh[(b?y)]sin()aaa (y0?y?b)
4.8 如题4.8图所示，在均匀电场
E0?exE0中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱
的半径为a。求导体圆柱外的电位?和电场E以及导体表面的感应电荷密度?。 解 在外电场电荷的电位
E0作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场E0的电位?0与感应
?in的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z无关。在圆柱面坐标系中，
8
外电场的电位为荷的电位
?0(r,?)??E0x?C??E0rcos??C（常数C的值由参考点确定）
，而感应电
?in(r,?)应与?0(r,?)一样按cos?变化，而且在无限远处为0。由于导体是等位体，
所以?(r,?)满足的边界条件为
y ?)?C ① ?(a,②
?(r,?)??Es?C0rco?r(??)
E0
a o x
?1?(r,?)??Ercos??Arcos??C 01由此可设
?1?Eacos??Aacos??C?C 01由条件①，有
题4.8图
2A?aE0 1于是得到
故圆柱外的电位为
?(r,?)?(?r?a2r?1)E0cos??C
若选择导体圆柱表面为电位参考点，即?(a,?)?0，则C?0。 导体圆柱外的电场则为
22??1??aaE????(r,?)??er?e???er(1?)E0cos??e?(?1?)E0sin??rr??r2r2
导体圆柱表面的电荷面密度为
????0??(r,?)E0co?sr?a?2?0?r
4.9 在介电常数为?的无限大的介质中，沿z轴方向开一个半径为a的圆柱形空腔。沿x轴方向外加一均匀电场解 在电场电场
E0?exE0，求空腔内和空腔外的电位函数。
E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加
E0与极化电荷的电场Ep的叠加。外电场的电位为?0(r,?)??E0x??E0rcos?而感应电
荷的电位
?in(r,?)应与?0(r,?)一样按cos?变化，则空腔内、外的电位分别为?1(r,?)和
?2(r,?)的边界条件为
9
①
r??时，?2(r,?)??E0rcos?；
?(r,?)为有限值；
② r?0时，1r?a时， ?1(a,?)??2(a,?)，
?0??1????2?r?r
③
由条件①和②，可设
?1(r,?)??E0rcos??Ar1cos? (r?a) ?2(r,?)??E0rcos??A2r?1cos? (r?a)
?1?2Aa?Aa??E??A???E??aA2 1200010带入条件③，有 ，
A1??由此解得
???0???02E0A2??aE0???0， ???0
2?E0rcos????0 (r?a)
?1(r,?)??所以
?2(r,?)??[1????0a2()]E0rcos????0r (r?a)
4.10 一个半径为b、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面，如题4.10图所示。
第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象
y 限分别保持电位
U0和?U0。求圆柱面内部的电位函数。
0 b o U0 0 解 由题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为
x
① ?(0,?)为有限值；
?U0
题4.10图
②
?U0?0??(b,?)????U0??00????2?2????????3?23?2???2?；
由条件①可知，圆柱面内部的电位函数的通解为
?(r,?)??rn(Ansinn??Bncosn?)n?1? (r?b)
10