（2）导体上充电荷Q时，令
Q?4??0aU0，有
U0?Q4??0a
Q4??0r
?(r,?)??E0rcos??a3E0r?2cos??利用（1）的结果，得到
4.14 如题4.14图所示，无限大的介质中外加均匀电场
E0?ezE0，在介质中有一个半径为
a的球形空腔。求空腔内、外的电场E和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为?）。
解 在电场电场
E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加
E0与极化电荷的电场Ep的叠加。设空腔内、外的电位分别为?1(r,?)和?2(r,?)，则边界
条件为 ①
r??时，?2(r,?)??E0rcos?；
?(r,?)为有限值； ② r?0时，1r?a时， ?1(a,?)??2(a,?)，
?0??1????2?r?r
③
由条件①和②，可设
?1(r,?)??E0rcos??Ar1cos? ?2(r,?)??E0rcos??A2r?2cos?
带入条件③，有
?3A1a?A2a?2，??0E0??0A1???E0?2?aA2
a ? ?0 o
z
A1??由此解得
???0???03E0A2??aE02???0，2???0
E0 题4.14图
3??1(r,?)??E0rcos?2???0所以
?2(r,?)??[1?
???0a3()]E0rcos?2???0r
16
空腔内、外的电场为
E1????1(r,?)?3?E02???0 E0?(???0)E0a3()[er2cos??e?sin?]2???0r
E2????2(r,?)?空腔表面的极化电荷面密度为
?p??n?P2r?a??(???0)er?E2r?a??3?0(???0)E0cos?2???0
4.15 如题4.15图所示，空心导体球壳的内、外半径分别为r1和r2，球的中心放置一个电偶极子
p，球壳上的电荷量为Q。试计算球内、外的电位分布和球壳上的电荷分布。
解 导体球壳将空间分割为内外两个区域，电偶极子
p在球壳内表面上引起感应电荷分布，但
内表面上的感应电荷总量为零，因此球壳外表面上电荷总量为Q，且均匀分布在外表面上。 球壳外的场可由高斯定理求得为
E2(r)?erQ4??0r2
r1 ?2(r)?Q4??0r
?2?外表面上的电荷面密度为 设球内的电位为
Q4?r22
，其中
o p r2 z Q ?1(r,?)??p(r,?)??in(r,?)题 4.15图
?p(r,?)?是电偶极子
pcos?p?P1(cos?)4??0r24??0r2
p的电位，?in(r,?)是球壳内表面上的感应电荷的电位。
?in(r,?)满足的边界条件为
①
?in(0,?)为有限值；
17
②
?1(r1,?)??2(r2)，即?in(r1,?)??p(r1,?)??2(r2)，所以
Q4??0r2?p4??r201?in(r1,?)?P1(cos?)
n?in(r,?)??AnrPn(co?s)n?0?由条件①可知
?in(r,?)的通解为
?
由条件②，有 比较两端
?Anr1nPn(cos?)?n?0Q4??0r2?p4??r201P1(cos?)
Pn(cos?)的系数，得到
A0?Q4??0r2，
A1??p4??0r13，
An?0(n?2)
?1(r,?)?最后得到
Q4??0r2?p4??0(1r?3)cos?2rr1
??1?nr?r1??0?1???0球壳内表面上的感应电荷面密度为
???1?rr?r1??3pcos?4?r13
感应电荷的总量为
3pq1???1dS??cos??2?r12sin?d??03?4?r10S
4.16 欲在一个半径为a的球上绕线圈使在球内产生均匀场，问线圈应如何绕（即求绕线的密
度）？ z er
解 设球内的均匀场为
H1?ezH0(r?a)，球外的场为H2(r?a)，如
题4.16图所示。根据边界条件，球面上的电流面密度为
JS?n?(H2?H1)r?a?er?(H2?ezH0)r?a?a ? H
o 1 H2
er?H2r?a?e?H0sin?r?a
题 4.16图
若令
er?H2?0，则得到球面上的电流面密度为
JS?e?H0sin?
18
这表明球面上的绕线密度正比于sin?，则将在球内产生均匀场。 4.17 一个半径为R的介质球带有均匀极化强度P。
?（1）证明：球内的电场是均匀的，等于
P?0；
4?R3??P?3。 （2）证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子产生的电场相同，
解 （1）当介质极化后，在介质中会形成极化电荷分布，本题中所求的电场即为极化电荷所产生
的场。由于是均匀极化，介质球体内不存在极化电荷，仅在介质球面上有极化电荷面密度，球内、外的电位满足拉普拉斯方程，可用分离变量法求解。
z 建立如题4.17图所示的坐标系，则介质球面上的极化电荷面密度为
?p?P?n?P?er?Pcos?介质球内、外的电位
?1和?2满足的边界条件为
R P o ?(0,?)为有限值； ① 1?(r,?)?0(r??)； ② 2③
题 4.17图
?1(R,?)??2(R,?)
??1??2?)?r?rr?R
?0(?Pcos?
因此，可设球内、外电位的通解为
?1(r,?)?Ar1cos?
?2(r,?)?B1cos?r2
由条件③，有
A1R?B12B1?(A?)?P0132RR，
PPR3A1?B1?3?0， 3?0
解得
19
?1(r,?)?于是得到球内的电位
PPrcos??z3?03?0
PP??3?03?0
E1????1??ez故球内的电场为 （2）介质球外的电位为
PR314?R3PP??2(r,?)?cos??cos??cos?2224??0r3?0r4??0r3 4?R3??3为介质球的体积。故介质球外的电场为 其中
E2????2(r,?)??erP???21??2(er2cos??e?sin?)?e??34??r?rr?r0
可见介质球外的电场与一个位于球心的偶极子P?产生的电场相同。
4.18 半径为a的接地导体球，离球心r1(r1?a)处放置一个点电荷q，如题4.18图所示。用分离变量法求电位分布。
解 球外的电位是点电荷的电位与球面上感应电荷产生的电位的叠加，感应电荷的电位满足拉普拉斯方程。用分离变量法求解电位分布时，将点电荷的电位在球面上按勒让德多项式展开，即可由边界条件确定通解中的系数。 设
?(r,?)??0(r,?)??in(r,?)，其中
q4??0R?q4??0r2?r12?2rr1cos? ?0(r,?)?是点电荷q的电位，
?in(r,?)是导体球上感应电荷产生的电位。
电位?(r,?)满足的边界条件为 ① r??时，?(r,?)?0； ② r?a时， ?(a,?)?0。 由条件①，可得
z q ?in(r,?)的通解为
20
r1 a o 题4.18图