?in(r,?)??Anr?n?1Pn(cos?)n?0?
为了确定系数
An，利用1R的球坐标展开式
??rn??n?1Pn(cos?)(r?r1)1?n?0r1??R??r1nP(cos?)(r?r1)?n?1n?r?n?0
an?0(a,?)?P(cos?)?n?1n?(r,?)4??0n?0r1将0在球面上展开为
q?代入条件②，有
?Aann?0??n?1anPn(cos?) ?P(cos?)?0?n?1n4??0n?0r1
q?qa2n?1An??n?1P(cos?)4??rn01比较的系数，得到
a2n?1?(r,?)??P(cos?)?n?1n4??R4??(rr)00n?01故得到球外的电位为
qq?讨论：将?(r,?)的第二项与1R的球坐标展开式比较，可得到
ar1a2n?1P(cos?)??n?1nn?0(rr2?(a2r1)2?2r(a2r1)cos?1r)?
2??(r,?)r?ar1的一个点电荷q???qar1所产生的电位，此电荷由此可见，的第二项是位于
正是球面上感应电荷的等效电荷，即像电荷。
z a
R P(r,?)
4.19 一根密度为证明：对于rql、长为2a的线电荷沿z轴放置，中心在原点上。
?a的点，有
???
o ? r ql?aa3a5?(r,?)???3P2(cos?)?5P4(cos?)?2??0?r3r5r解 线电荷产生的电位为
?a 题4.19图
21
ql1??(r,?)?dz??aR4??04??0?对于rqlaa?a?1r?z??2rz?cos?22dz?
?a的点，有
1?(z?)n??n?1Pn(cos?)22r?z??2rz?cos?n?0r
故得到
(z?)n?(r,?)?P(cos?)dz???n?1?4??0n?0?arql?a
ql?aa3a51an?1?(?a)n?1Pn(cos?)???3P2(cos?)?5P4(cos?)??n?12??0?r3r5r4??0n?0n?1rql????
4.20 一个半径为a的细导线圆环，环与xy平面重合，中心在原点上，环上总电荷量为Q，如题4.20图所示。证明：空间任意点电位为
4?1?r?23?r??1??1???P2(cos?)???P4(cos?)?4??0a?8?a??2?a?Q??? (r?a) ????? (r?a)
4?1?a?23?a??2??1???P2(cos?)???P4(cos?)?4??0r?8?r??2?r?Q解 以细导线圆环所在的球面r?a把场区分为两部分，分别写出两个场域的通解，并利用?函
数将细导线圆环上的线电荷Q表示成球面r?a上的电荷面密度
z ?? Q?Q?(cos??cos)??(cos?)2?a222?a2
再根据边界条件确定系数。
a x o y
设球面r?a内、外的电位分别为?1(r,?)和?2(r,?)，则边界
条件为： ① ②
题 4.20图
?1(0,?)为有限值； ?2(r,?)?0(r??)
③
?1(a,?)??2(a,?)，
22
??1??2Q0(??r??r)?r?a2?a2?(cos?)
根据条件①和②，可得
?1(r,?)和?2(r,?)的通解为
??1(r,?)??AnrnPn(cos?)n?0 （1）
??2(r,?)??Bnr?n?1Pn(cos?)n?0 （2）
代入条件③，有
n?n? Ana?B1na ??[A?1?n?2nnan?Bn(n?1)a]Pn(cos?)?Q2?(cos?)n?02??0a （4）将式（4）两端同乘以
Pm(cos?)sin?，并从0到?对?进行积分，得 (2n?1)Q?Annan?1?Bn(n?1)a?n?2?4??20a??(cos?)Pn(cos?)sin?d??0
(2n?1)Q4??Pn(0)0a2 （5）
?n?1,3,5,P??0n(0)??(?1)n21?3?5(n?1)2?n?2,4,6,其中
?4?6n
AQQann?nP(0)Bn?Pn(0)由式（3）和（5），解得 4???1n0a，4??0
代入式（1）和（2），即得到
?Q??1?1?r?23?r4?4????P?1?2(cos?)???P4(cos?)??0a??2?a?8?a??? (r?a) ?Q?1?a?23?a?4?2?4???1???P2(cos?)???P4(cos?)??0r??2?r?8?r??? (r?a)
23
3）
（
4.21 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移到无穷远处，需要作多少功？
解 利用镜像法求解。当点电荷q移动到距离导体平面为x的
?点P处时，其像电荷q??q，与导体平面相距为x???x，如
q??x o x x xq 题4.21图所示。像电荷q在点P处产生的电场为
?E?(x)?ex?q4??0(2x)2
题 4.21图
所以将点电荷q移到无穷远处时，电场所作的功为
We??qE?(x)?dr??d??d?q2q2dx??24??0(2x)16??0d
q2Wo??We?16??0d
外力所作的功为
4.22 如题4.22图所示，一个点电荷放在60的接地导体角域内的点(1,1,0)处。求：（1）所
?q有镜像电荷的位置和大小；（2）点x?2,y?1处的电位。
解 （1）这是一个多重镜像的问题，共有5个像电荷，分布在以点电荷到角域顶点的距离为半径的圆周上，并且关于导体平面对称，其电荷量的大小等于，且正负电荷交错分布，其大小和位置分别为
qq???q,q1
???2cos75??0.366?x1???2sin75??1.366??y1 ???2cos165???1.366?x2???2sin165??0.366??y2???2cos195???1.366?x3???2sin195???0.366??y3
? q2 y ? q1??q,q2q (2,1,0) (1,1,0) 60? o ? q4? q5???q,q3? q3x
题 4.22 图
24
??q,q4???2cos285??0.366?x4???q,q5????2sin285??1.366??y4 ???2cos315??1?x5????y?2sin315??15?
（2）点x?2,y?1处电位
?(2,1,0)?
?q4???q2?q3?q51?qq1????????4??0?RR1R2R3R4R5?
0.321q?2.88?109q(V)4??0
q4??0(1?0.597?0.292?0.275?0.348?0.477)?4.23 一个电荷量为q、质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面相距为h。
?3qm?2?10kg，h?0.02m）求的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡（设。
解 将小带电体视为点电荷q，导体平面上的感应电荷对q的静电力等于镜像电荷q对q的作用
??力。根据镜像法可知，镜像电荷为q??q，位于导体平面上方为h处，则小带电体q受到的静
q2fe??24??(2h) 0电力为
q2?mg2f4??0(2h)令e的大小与重力mg相等，即
z z z q ?0 h ? 题 4.24图（a）
q R1 q?q??P o ? h h ?o R? R2?0 h o ? 0 P 图 2.13q ? 题 4.24图（c）
4.24图（ b） 题
于是得到
q?4h??0mg?5.9?10?8C
25