代入条件②，有 由此得到
?b(Ann?1?nsin??Bncno?s??)b?(,)
1An?nb?2???(b,?)sinn?d??b?[?Un01?203?2sinn?d??0U??0sinn?d?]?U0(1?cosn?)?bnn??2U0,n?1,3,5,?nn?b???0，n?2,4,6,
1Bn?nb?2???(b,?)cosn?d??b?[?Un01?203?2cosn?d??0U??0cosn?d?]?
n?3?2U0,?(?1)2nn?b?U0n?3n?(sin?sin)??0，?bnn?22n?1,3,5,n?2,4,6,
?(r,?)?故
2U0?n?1,3,5,??n?31rn()[sinn??(?1)2cosn?]nb (r?b)
4.11 如题4.11图所示，一无限长介质圆柱的半径为a、介电常数为?，在距离轴线有一与圆柱平行的线电荷解 在线电荷
r0(r0?a)处，
ql，计算空间各部分的电位。
ql作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位?(r,?)均为线电荷ql的电位
?l(r,?)与极化电荷的电位?p(r,?)的叠加，即?(r,?)??l(r,?)??p(r,?)。线电荷ql的电位
?l(r,?)??为
y ql2??0lnR??ql2??0lnr2?r02?2rr0cos? （1）
而极化电荷的电位
?p(r,?)满足拉普拉斯方程，且是?的偶函数。
a ? o ?0 ql介质圆柱内外的电位
?1(r,?)和?2(r,?)满足的边界条件为分别为
r0 x
①
?1(0?,为有限值；)
题4.11图
11
②
?2(r,?)??lr(,?)r?(? )?2③ r?a时，
1??2,???1?r????0?r
由条件①和②可知，
?1(r,?)和?2(r,?)的通解为
??1(r,?)??l(r,?)??Anrncosn?n?1 (0?r?a) （2）
??2(r,?)??l(r,?)??Bnnr?cosn?n?1 (a?r??) （3）
将式（1）～（3）带入条件③，可得到
???Annacosn??n?n?1?B?nnacosn?1 （4）
??(A?n?1n?nan?1?Bn?0na)cosn??(???ql?lnR0)n?12???a0?rr （5）
?nR?lnr1rn0?当
r?rl0时，将lnR展开为级数，有
?r()cn?osn?1n0 n?1?n?1??Bn?0na)cosn???(???0)ql带入式（5），得
??(An?nan?1?(a)n?12??cosn?0r0n?1r0由式（4）和（7），有 Anan?B?nna
A?1?1n?nan?Bn?0na?n??(???0)qlan?12??()0r0r0
??ql(???0)1ql(???0)a2nAn由此解得 2??nBn??n0(???0)nr0， 2??0(???0)nr0
故得到圆柱内、外的电位分别为
?,?)??qllnr2?r22??0?2rr?q?l(???0)1rn1(r0cos?2???()cosn?00(???0)n?1nr0 （8）
12
6）
7）
（ （
ql(???0)?1a2n?2(r,?)??lnr?r?2rr0cos??()cosn??2??02??0(???0)n?1nr0r （9）
ql220讨论：利用式（6），可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为
ql(???0)?1rnql(???0)?()cosn??(lnR?lnr0)?2??0(???0)n?1nr02??0(???0) ql(???0)?1a2nql(???0)?()cosn??(lnR??lnr)?2??0(???0)n?1nr0r2??0(???0)
其中
R??r2?(a2r0)2?2r(a2r0)cos?。因此可将
?1(r,?)和?2(r,?)分别写成为
?1(r,?)??2?0qlq(???0)lnR?llnr02??0???02??0(???0) 1ql2??0lnR?1?(???0)ql1(???0)qllnR??lnr2??0???02??0???0
?2(r,?)??2?0qlr,???0的电位相同，而介质圆
由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（00）的线电荷
a2
(,0)
r,qr柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（00）的线电荷l；位于0的
???0???0qlql???0；位于r?0的线电荷???0。
线电荷
?4.12 将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。
解 导体圆柱内的电位为常数，导体圆柱外的电位?(r,?)均为线电荷电荷的电位
ql的电位?l(r,?)与感应
?in(r,?)的叠加，即?(r,?)??l(r,?)??in(r,?)。线电荷ql的电位为
ql2??0lnR??ql2??0lnr2?r02?2rr0cos? （1）
?l(r,?)??而感应电荷的电位
?in(r,?)满足拉普拉斯方程，且是?的偶函数。
?(r,?)满足的边界条件为
13
① ②
?(r,?)??lr(?,(r)??)；
?(a,?)?C。
由于电位分布是?的偶函数，并由条件①可知，?(r,?)的通解为
?(r,?)??l(r,?)??Anr?ncosn?n?0? （2）
将式（1）和（2）带入条件②，可得到
?Ana?ncosn??C?n?0?ql2??0lna2?r02?2ar0cos? （3）
将
lna2?r02?2ar0cos?220展开为级数，有
?1alna?r?2ar0cos??lnr0??()ncosn?n?1nr0 （4）
带入式（3），得
??Aann?0?ncosn??C?1a[lnr0??()ncosn?]2??0n?1nr0 （5）
ql?a2nA0?C?lnr0An??()2??02??0nr0
由此可得 ，
qlql故导体圆柱外的电为
?(r,?)??qlql2??0lnr2?r02?2rr0cos??
1a2n(C?lnr0)?()cosn??2??02??0n?1nr0r （6）
ql?讨论：利用式（4），可将式（6）中的第二项写成为
ql1a2n?()cosn??(lnR??lnr)?2??0n?1nr0r2??0
ql?其中
R??r2?(a2r0)2?2r(a2r0)cos?。因此可将?(r,?)写成为
14
?(r,?)??ql2??0lnR?ql2??0lnR??ql2??0lnr?C?ql2??0lnr0
由此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（
r0,0）q的线电荷l；
a2
(,0)
?qqr位于0的线电荷l；位于r?0的线电荷l。
4.13 在均匀外电场
E0?ezE0中放入半径为a的导体球，设（1）导体充电至U0；
（2）导体上
充有电荷Q。试分别计算两种情况下球外的电位分布。 解 （1）这里导体充电至时导体球面上的电荷密度在
U0应理解为未加外电场E0时导体球相对于无限远处的电位为U0，此
???0U0a，q?4??0aU0。E总电荷将导体球放入均匀外电场0中后，
E0的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q仍保持不变，导体
球仍为等位体。 设
?(r,?)??0(r,?)??in(r,?)，其中
?0(r,?)??E0z??E0rcos?
是均匀外电场
E0的电位，?in(r,?)是导体球上的电荷产生的电位。
电位?(r,?)满足的边界条件为 ①
r??时，?(r,?)??E0rcos?；
② r?a时， 其中
?(a,?)?C0，
??0?S??dS?q?r
C0为常数，若适当选择?(r,?)的参考点，可使C0?U0。
?2?1?(r,?)??Ercos??Arcos??Br?C1 011由条件①，可设
3A?aE0，B1?aU0，C1?C0?U0 1代入条件②，可得到
3?2?1C?U?(r,?)??Ercos??aErcos??aUr00000若使，可得到
15