4.24 如题4.24（a）图所示，在z?0的下半空间是介电常数为?的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h处有一点电荷q，求：（1）z?0和z?0的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q。
解 （1）在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题4.24图（b）、（c）所示）
?q??????0q???0，位于 z??h
q??????0q???0， 位于 z?h
q上半空间内的电位由点电荷和镜像电荷q共同产生，即
?????0q?11??qq?????1???4??2222???r?(z?h)?0?04??0R14??0R??r?(z?h)?
下半空间内的电位由点电荷和镜像电荷q共同产生，即
q???2?q?q??q1?4??R22?(???0)r2?(z?h)2 （2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为
?p?n??P1?P2??z?0??0(E1z?E2z)z?0??0(??2??1?)?z?zz?0??(???0)hq2?(???0)(r2?h2)32
极化电荷总电量为
(???0)hqr(???0)qqP???PdS???P2?rdr??dr???q?2232????00(r?h)???0S0?
4.25 一个半径为R的导体球带有电荷量为Q，在球体外距离球心为D处有一个点电荷q。（1）
QRD3R??222qqD成立q(D?R)Q求点电荷与导体球之间的静电力；（2）证明：当与同号，且
时，F表现为吸引力。
26
解 （1）导体球上除带有电荷量Q之外，点电荷还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电
qd? Q?q?? o q? D q 荷。根据镜像法，像电荷q和q的大小和位置分别为（如题4.25
??? R z
图所示）
题 4.25图
R2Rq???qd??D， D q????q??RqD， d???0
q
导体球自身所带的电荷Q则与位于球心的点电荷Q等效。故点电荷受到的静电力为
F?Fq??q?Fq???q?FQ?qqq?q(D?q??)???4??0(D?d?)24??0D2
??q?Q?(RD)qRq????224??0?D2D?D??RD?????? ?q（2）当与Q同号，且F表现为吸引力，即F?0时，则应有
Q?(RD)qRq?2D2DD??RD???2?0
QRD3R?2?22qD (D?R)由此可得出
4.26 两个点电荷Q和?Q，在一个半径为a的导体球直径的延长线上，分别位于导体球的两侧且距球心为D。
2a3Qp?D2； （1）证明：镜像电荷构成一个电偶极子，位于球心，电偶极矩为Q2（2）令D和Q分别趋于无穷，同时保持D不变，计算球外的电场。
解 （1）点电荷Q和?Q都要在球面上引起等量异号的感应电荷，可分别按照点电荷与不接地
27
导体球面的镜像确定其等效的像电荷。根据镜像法，点电荷Q的像电荷为
a2a???Qq1d1??D， 位于：D
z zD Q ????q1??q1R1aQD，位于：d1???0
P
ra ? o R?? ?d2 q2??q1d1 ?R1 2而点电荷?Q的像电荷为
R2a2a??Q???q2d2D， 位于：D ????q2???q2aQ???0 D，位于：d2 题 4.26图
有 ?D ?Q
如题4.26图所示。由此可见，像电荷q1和q2等值异号，且同时位于球心，故球心处总的像电荷为零；而像电荷q1和q2也等值异号，
????
??且位置关于球心对称，故构成位于球心的电偶极子，其电偶极矩为
a2a22a3Q?(2d1?)?Q?p?q2?DDD2
（2）球外的电位由Q和?Q以及像电荷q1和q2共同产生，即
???q1?q2QQ?(r,?)??－???4??0R14??0R1?4??0R24??0R2
Q?1aD????222224??0?r?D2?2rDcos?r?(aD)?(2raD)cos??
?1aD???222222r?D?2rDco?sr?a(D?)r(a2D)?c?s?o
Q2当D和Q分别趋于无穷，同时保持D不变时，有
28
Q?D2aD??(r,?)???2?2222224??0D?r?D?2rDcos?r?(aD)?(2raD)cos??
?????222222r?D?2rDcos?r?(aD)?(2raD)cos???
D2aD
??????ra2ra2??aD???aD?D1?cos??1?cos??D1?cos??1?cos????????????4??0D2?DrrDDrrD??????????? Qp4??0arcos??3p4??0r2cos?
球外的电场为
p2a3a3??1??[?er(1?3)cos??e?(1?3)E0sin?]?E??????(er?e?)?34??0arr?rr??
ezp4??0a3?p4??0r3(er2cos??e?sin?)
4.27 一根与地面平行架设的圆截面导线，半径为a，悬挂高度为h。证明：单位长度上圆柱导
C0?线与地面间的电容为
2??0cosh?1(ha)。
解 地面的影响可用一个像圆柱来等效。设导线单位长度带电荷为荷为
ql，则像圆柱单位长度带电
?ql。根据电轴法，电荷ql和?ql可用位于电轴上的线电荷来等
ql h 效替代，如题4.27图所示。等效线电荷对导体轴线的偏移为
a D?h?h2?a2 d?h?h?a
则导线与地间的电位差为
22 D h ?ql qlh2?a2?(h?a)ql11ln???ln?ln?222??2??0a?d2??0D?ah?a?(h?a)0ql a d
题 4.27图
29
qh2?a2?hhln?lcosh?1()2??0a2??0a ql故单位长度上圆柱导线与地面间的电容为
C0?ql??2??0cosh?1(ha)
4.28在上题中设导线与地面间的电压为
U0。证明：地面对导线单位长度的作用力
F0???0U02?12212??cosh(ha)(h?a)??。
2??0U0212We?C0U0??12cosh(ha)
解 导线单位长度上的电场能量为
由虚位移法，得到地面对导线单位长度的作用力为
F0??We?hU0???0U?2[]???12212?1?cosh(ha)(h?a)?hcosh(ha)??
20??0U02 30