第三章 扭转
第一节 工程实际中的受扭杆
在第一章中已经指出，扭转是杆变形的一种基本形式，是由一对转向相反、作用在垂直于杆轴线的两个平面内的外力偶所引起的。在工程实际中以扭转为主要变形的杆也比较多。例如图3-1中所示的（a）机器传动轴，（b）钻杆，（c）水电站机组中的传动轴，（d）发动机的机座等，都是受扭杆的实例。另外，在土建、水利工程建筑物中，也常会遇到受扭的构件，甚至体积巨大的重力拱坝或重力坝，由于重力、水压力、温度应力等的作用，日子久了，其坝体也会发生扭转变形。
t2T2t1T1(a)电磁力偶(b)h机座法兰盘螺栓反力Mnh(c)(d)
图3-1 受扭杆的实例
对受扭杆件进行强度计算和刚度计算的步骤，基本上与受拉（压）杆相同。即首先求出杆的内力——扭矩，然后计算出它的应力和变形，再根据材料的力学性能和对杆的使用要求，建立其强度条件和刚度条件。
第二节 受扭杆的内力——扭矩 扭矩图
2.1 扭转
当杆受到外力偶作用发生扭转变形时，在杆的横截面上同时会产生相应的内力，我们
称它为扭矩，用符号Mn表示。扭矩的量纲和外力偶矩的量纲相同，都为[力] ·[长度]。在国．．际单位制中常用的单位是牛·米或千牛·米（N·m或kN·m）。
求受扭杆的内力（扭矩）时，仍可采用截面法。如图3-2（a）所示的杆，在其两端有一对矩均为m但转向相反的外力偶作用。若要求杆任一横截面n-n上的内力，可设想将杆沿截面n-n切开为两段，并取其中的一段为脱离体，例如左段为脱离体（如图3-2（b））或右段为脱离体（如图3-2（c））,则根据静力平衡条件，可由
?M求出横截面上的扭矩
x?0，m?Mn?0
Mn?m （3-2-1）
mnmxmn(a)Mnx(b)mM'n(c)图3-2 用截面法求受扭杆的内力
x
当一杆同时受到多个外力偶作用时，其各段杆横截面上的扭矩同样可用截面法求得。如图3-3（a）所示的AB杆，同时受到矩为m1、m2、m3、m4的四个外力偶作用，且m1+m2+m3+m4＝0。则杆各段横截面上的扭矩可用截面法求得。
m1Ⅰm2Ⅱm3m4xAⅠCⅡ(a)DBMnm1m1+m2x(b)m4
图3-3 扭矩图
对AC段，可在AC段内用假想截面I-I将杆切开，并取其左边部分为脱离体，则由静力学平衡方程
?Mx'?0，m1?Mn?0
'可求得 Mn?m1
同样，可用截面法求得在CD、DB两段横截面上的扭矩分别为
''Mn?m1?m2
'''Mn?m1?m2?m3??m4
由上面的计算方法和所得结果不难看出：受扭杆任一横截面上扭矩的大小，即等于在此截面左边（或右边）的所有外力偶矩的代数和。
在上面的计算中，我们是以杆的左段为脱离体。若改以杆的右段为脱离体，则在同一横截面上所求得的扭矩，将与上面求得的扭矩在数值上相等但转向相反。为了使从左段杆和右段杆求得的扭矩不仅有相同的数值而且有相同的正负号，扭矩的正负号应按杆的变形情况来规定。一般的规定是，若杆扭转时其表面上原与杆轴线平行的纵线有形成右手螺旋线的趋势，则杆横截面上的扭矩为正号的扭矩，反之为负号的扭矩。此外，也可将扭矩按右手螺旋法则用矢来表示，并规定当矢的指向离开横截面矢扭矩为正，反之为负。不难看出，上述两种对扭矩正负号的规定是一致的。按照这些规定，在图3-2（b）和3-2（c）所示横截面n-n上的
'''扭矩Mn都是正号的扭矩；在图3-3（a）所示的杆中，其AC与CD两段中的扭矩Mn和Mn都为正号的扭矩，在DB段中的扭矩Mn则为负号的扭矩。
在工程实际中，作用在机器传动轴上的外力偶往往不是直接给出的，需要通过由轴的转速即传递千瓦（kW）数来决定。由动力学知识可知，如果作用在轴上的外力偶为m，则轴相应地转动了一个?角，那么该力偶所做的功为A?m?，在单位时间内该力偶所做的功叫功率，则W?'''A?m??，式中?为轴的角速度，因此，已知轴的功率W和角速度，就可tW求得其外力偶为?
m??
?千瓦（kW）＝??千牛·米?分（kN·m?min）。若已知传动轴所传递的千瓦数?k及转速n（转/分，r/min）,将其代入上式就可求得外力偶为
m?60NkN?9.55k （3-2-2） 2?nn式（3-2-2）中外力偶m的单位是kN·m。 2.2 扭矩图
为形象地表示出扭矩沿杆长的变化情况和杆上最大扭矩所在的横截面，和在第三章中已介绍过的轴力图一样，我们也可作出受扭杆的扭矩图。即在一直角坐标系中，按照选定的比．．．例尺，以受扭杆横截面沿杆轴线的位置x为横坐标，以横截面上的扭矩Mn为纵坐标，绘出扭矩图。绘图时一般规定将正号的扭矩画在横坐标轴的上侧，负号的扭矩画在横坐标轴的下侧（参看3-3（b））。
例题3-1 试作图3-4（a）所示机器传动轴的扭矩图。已知轴的转速为n=30 r/min，主动轮1的功率N1＝500kW，三个从动轮2、3、4的功率分别为N2＝150kW，N3＝150kW， N4＝200kW。
m2m3m1m422mMn32m(a)12m46.36kN·m4.78kN·m(b)9.56kN·mx
图3-4 例题3-1图
解 （1）根据转速n、功率N计算作用在各轮上的外力偶m，由式（3-2-2）可得
m1?9.55N1500?9.55??15.92kN?m （方向与轴的旋转方向一致） n300N2150?9.55??4.78kN?m n300m2?m3?9.55m4?9.55N4200?9.55??6.36kN?m （方向与轴的旋转方向相反） n300（2）根据作用在各轮上的外力偶矩，算出各段轴内的扭矩
在2、3两轮间的一段轴上 Mn??m2??4.78kN?m 在3、1两轮间的一段轴上 Mn??m2?m3??9.56kN?m 在1、4两轮间的一段轴上 Mn??m2?m3?m1?6.36kN?m
或Mn?m4?6.36kN?m
（3）作扭矩图
取横坐标轴x与传动轴轴线平行的直角坐标系。以横截面沿杆轴线的位置为横坐标，以上面求得的各扭矩为纵坐标，绘出传动轴的扭矩图，如图3-4（b）所示。
第三节 薄壁圆筒的扭转
为在下节研究圆轴扭转时的应力与应变作准备，我们先研究一个比较简单的情况——薄．壁圆筒的扭转。 ．．．．．．3.1
剪应力互等定理
取一薄壁圆筒，在其表面画上一系列与筒轴线平行的纵线和一系列表示筒横截面的圆周线，他们将圆筒的表面划分为许多小矩形，如图3-5（a）所示。
(a)mm(b)
图3-5 薄壁圆筒的扭转变形现象
若在薄壁圆筒二端面内，作用一对大小相等、转向相反的外力偶，则圆筒将发生扭转变形。当变形很小时，可观察到：各纵线倾斜了同一角度?；各圆周线则仅绕圆筒轴线发生相对转动而其形状、大小和间距均无改变；使原来的小矩形都变为小平行四边形，如图3-5（b）所示。
若假想地用相距为dx的二横截面1-1、2-2和相距为dy的二纵截面（图3-6（a））从薄壁圆筒上截取出一矩形小块，如图3-6（c）所示，显然，在圆筒发生扭转变形后，此小块也将发生如图中细线所示的剪切变形，且其剪应变即为角??。考虑到剪应力会与剪应变同时发．．．