矩形横截面短边中点B的剪应力?B可按下式计算
?B???max （3-7-2）
?BB(a)mmhA?=?maxAb(b)图3-12 矩形截面杆的扭转
杆的单位扭转角
(c)
??MnMn （3-7-3） ?3GIn?hbG式中：Wn=ahb3——抗扭截面模量（与Wp不同，Wn没有明确的几何意义）； In＝?hb3——截面的相当极惯性矩（与Ip不同，In没有明确的几何意义）； h——矩形截面的长边长度；
b——矩形截面的短边长度；
?，?，?——系数，它们取决于边长比h/b，可由表3-1中查得。
表3-1 矩形截面杆在纯扭转时的系数?，?和??h/b?1.0 0.208 0.141 1.000 3.0 0.267 0.263 0.753 1.2 0.219 0.166 0.930 4.0 0.282 0.281 0.745 1.5 0.231 0.196 0.859 6.0 0.299 0.299 0.743 1.75 0.239 0.214 0.820 8.0 0.207 0.207 0.742 2.0 0.246 0.229 0.795 10.0 0.312 0.312 0.742 2.5 0.258 0.249 0.766 ∞ 0.333 0.333 0.742 ??????h/b???????7.2
开口薄壁截面杆
从表3-1可知，当h/b＞10时，系数?和?都接近于?.333，即可将?1，故对狭长矩形截面杆进行扭转计算时，3???1代入式（3-7-1）和（3-7-3），即有： 3?max?和
3Mnhb2 （3-7-4）
??3Mn （3-7-5） 3hbG式（3-7-4）和（3-7-5）还可推广应用于截面中线不是直线的开口薄壁截面杆，但要用展开了的截面中线长度来代替h。例如：对弧形截面（如图3-13（a）），h?R?；对角钢截面（如图3-13（b）），h?c1 ?c2?b。
bbc1c2?Rb(a)弧形截面(b)角钢截面
图3-13 开口薄壁截面杆的h值
各种轧制成的型钢，如工字钢、角钢、槽钢等，都属于开口薄壁截面杆。它们的横截面都是由若干厚度不等的狭长矩形组合而成的。由实验可观察到，开口薄壁杆受扭时，其横截面虽会发生翘曲，但横截面周边在平面上投影的几何形状仍能保持不变，故可作出所谓的刚周边假设。根据这个假设，可认为杆扭转．．．．．时，组成截面的各个狭长矩形的单位扭转角都相等。
由此可知：分布在各狭长矩形的扭矩与它们的相当极惯性矩成正比，即
Mni?Ini?IMn
ni最大剪应力发生在厚度最大的狭长矩形的长边中点 ，即
?max?MnCmax
?Ini 应当注意，截面形状基本相似，截面积也相等的开口薄壁截面杆和闭口薄壁截面杆，它们的抗扭强度和抗扭刚度都有相当大的差别。例如图3-14所示的圆环形闭口薄壁截面杆（如图3-14（a））和开口薄壁
截面杆（如图3-14（b）），在受扭时，闭口薄壁杆比开口薄壁杆所能承担的扭矩要大得多，当D/??20时，闭口薄壁杆的抗扭强度和抗扭刚度分别为开口薄壁杆的30倍和300倍。产生这种巨大差异的原因，可由图3-14（c）和3-14（d）所示薄壁截面上剪应力的不同分布规律看出来。
δδDMnDMn（a）（b）（c）（d）
图3-14 圆环形的闭口和开口薄壁截面杆受扭时横截面上剪应力的分布情况
思 考 题
3-1 如何计算扭矩，扭矩的正负号如何规定？
3-2 圆轴扭转时，横截面上产生什么应力? 如何计算，给出分布图？ 3-3 扭转变形用什么量来度量？如何计算？ 3-4 从力学角度说，为什么空心轴比实心轴较合理？ 3-5 什么叫剪应力互等定理，剪切胡克定律？
3-6 图中所示的结构，是将板固接于铰接的刚性边框内所构成。问此结构受到力P的作用时，在板中间部分的小方块（用虚线表示）会有什么样的变形和应力？
llBPA＇B＇AD＇DCC＇P
P
思考题 3-6图 思考题3-7图
3-7 在钢板试件的表面上先画一正方形，如图中的ABCD所示，如承受轴向拉伸荷载P
后，此正方形将变成菱形A'B'C'D'，如图中所示。试根据这一变形现象，说明在材料的三个弹性常数E、G、?之间，必定保持一种函数关系。
3-8 在塑性材料制成的圆轴表面上，先画上许多小圆圈。问在圆轴受扭后，这些小圆圈将变成什么形状？
3-9 图（a）表示一圆杆在外力偶矩m作用下发生扭转。若用横截面ABE、CDF和水平纵截面ABCD截面杆的一部分如图（b）所示。由剪应力互等定理可知，在水平纵截面上有如图（b）中所示的剪应力?'；相应的切向内力元素?'dA将组成一合力偶。试分析此合力偶与杆这部分上的什么力偶相平衡？
mmBCADEB(a)τ＇FCττAE(b)思考题3-9图
DF
3-10 试根据剪应力互等定理，并结合杆表面上无剪应力的实际情况，论证任何形状截面的等直杆受扭时：
（a）其横截面上外棱角（凸角）处必无剪应力； （b）其横截面上内棱角（凹角）处可能有剪应力；
3-11 有三根长度、材料均相同的薄壁杆，其横截面的形状如图中所示，壁厚?及管壁中线的周长均相同。试判断哪根杆的抗扭能力最强，哪根杆的抗扭能力最弱。
r0δδr0δaa(a)(b)(c)
思考题3-11图
习?题?
3?1??图（a）所示一阶梯形传动轴，上面装有三个皮带轮。AC段的横截面直径为
d1?40mm，CB段的横截面直径为d2?70mm。已知：轮?由电动机带动，输入的功率
N3?36.75kW；轮?输出的功率N1?14.70kW；轮?输出的功率N2?22.05kW；轮作
匀速转动，转速n?200r/min。试作出圆轴的扭矩图，并作图（b）、（c）的扭矩图。
1kN·mA1AC0.5m0.3m(a)2D1mA31mB1m(b)1kN·m/m1m0.5kN·m/m3.5kN·m2kN·mBCD2m(c)B
题3-1图
3-2 图示一实心圆轴，横截面直径d?100mm，在自由端受到m?14kN?m的扭转外力偶作用。（a）试计算横截面上点?处（??30mm）的剪应力与横截面上的最大剪应力；（b）若材料的剪切弹性模量G?79GPa，试求?、?二截面的相对扭转角及A、C二截面的相对扭转角。
mACBρK1m1.5m题3-2 图
d
3-3 图示一圆截面直径为80mm的传动轴，上面作用的外力偶矩为m1?1000N?m，（a）试作出此轴的扭矩图。（b）试m2?600N?m，m3?200N?m，m4?200N?m。
计算各段轴内的最大剪应力及此轴的总扭转角（已知材料的剪切弹性模量G?79GPa）。（c）若将外力偶矩m1和m2的作用位置互换一下，问圆轴的直径是否可以减少？
3-4 图示一转速为n?315r/min、功率N?36.75kW的电动机，通过直径为50mm的钢轴带动在A端的2.35kW转轮和在B端的29.4kW转轮。试绘制轴AB的扭矩图并计算