生，可见在小块的左、右两边截面上必有与???相应的剪应力???。因圆筒壁的厚度???非常小，可认为剪应力???是沿壁厚均匀分布的（如图3-6（b））。根据小块的平衡条件，可知作用在小块左、右截面上的剪应力???应大小相等、方向相反，同时为了平衡由这两个截面上的???所组成的力偶矩，在小块的上、下两个截面上也应有如图3-6（c）中所示的剪应力??′，即小块是处于纯剪应力状态。对轴A-A取矩，可得
(?dy?)dx?(?'dx?)dy?0
故有 ???' （3-3-1）
2dy2m21δτm1mdx(a)1AA?dyτ'δτ2dx(b)1dx(c)
图3-6 剪应力互等定理的证明
这就表明，在相互垂直的二平面上的剪应力的数值相等，且都指向（或背离）该二平面的交线。我们把这一关系称为剪应力互等定理。这就是第二章第一节关于剪应力互等定理的详细．．．．．．．证明。 3.2
剪切胡克定律
由上面的介绍，可见剪应力 ??与剪应变???是互相对应的，下面再看看它们之间存在着什么样的关系。由薄壁圆筒的扭转实验可知，对低碳钢等塑性材料来说，在扭转剪应力???小于或等于材料的比例极限??p范围内，外力偶m与圆筒两端截面间的扭转角 ??成线性关系（如图???（a）（b））?即?
m?? （a） 对其它一般的工程材料，也可近似地认为存在这个关系。
上面已经提到，在图3-6中，因筒壁很薄，可认为剪应力不沿壁厚变化。另外根据对圆心的对称性，可知在圆环横截面上的各点都有大小相等的剪应力??。根据静力平衡条件，有?
mb＇a?bl（a）mm实验曲线??r0O（b）??
图3-7 薄壁圆筒实验和m-??图?
m??A(?dA)r0??r0A?2?r02??
故 ??其中的r0是薄壁圆筒的平均半径。
前面已经指出，圆筒受扭时，其上所画各矩形小块的剪应变即等于各纵线所发生的倾斜角??。从图3-7（a）还可看出?
m （3-3-2） 22?r0?bb'??l?r0?
故 其中l是圆筒两端截面间的距离。
由式（3-3-2）和式（a）、（b）可得
??r0? （b） l??? （c）
引入比例常数G，即有
??G? （3-3-3） 此式表明，像正应力??与线应变??之间存在??E?的线性关系一样，在剪应力??与剪应变??之间也存在??G?的线性关系，我们把这一关系称为材料的剪切胡克定律。式中的G称为材料的剪切弹性模量，其量纲与弹性模量E的量纲相同。这也是在第二章第六节中提到过的剪切胡克定律的详细说明。
对于各向同性材料来说，拉压弹性模量E，泊松比?及剪切弹性模量G之间有如下的关系
G?E （3-3-4）
2(1??)第四节 圆轴扭转时的应力与应变
4.1 横截面上的应力
用截面法与平衡条件只能求出受扭圆轴横截面的内力（扭矩），无法求出截面上的应力，因为应力在截面上的分布情况未知。与轴向拉（压）横截面上的应力求解过程相同，要求圆轴横截面上的应力公式，必须从变形几何关系、物理关系以及静力学关系三方面综合考虑来求解。根据内力和应力的关系可知，要使截面上的应力与微面积dA之乘积的合成，等于截面上的扭矩，横截面上的应力只能是剪应力。 4.1.1
变形的几何关系
mm(a)图3-8? 实心圆轴扭转变形
(b)
如图3-8(a)所示，先在圆轴表面画上一些与轴线平行的纵向线及与轴线垂直的圆周线（横向线），将圆轴的表面划分成许多的小矩形，然后在圆轴两端施加一对大小相等，转向相反，作用面与圆轴线垂直的外力偶，使其发生扭转变形。即可观察到如下现象（如图3-8（b））：
（1） 各纵向线倾斜了相同的角度??而成为平行的螺旋线，变形很小时近似为一直线。 （2） 横向的各圆周线大小、形状以及之间的距离保持不变。
（3） 矩形格子变成平行四边形，直角发生了改变，其改变量为?（剪应变）。
根据这种变形现象由表及里作出如下假设：圆轴的横截面，在受扭变形时保持为平面，像刚性平面一样绕轴线相对转动。这一假设称为圆轴扭转的“平面假设”。?
从受扭圆轴中取出一微段dx，如图3-9（a）所示，则在dx微段上的楔形单元体的矩形格子abcd变成了平行四边形ab′c′d（如图3-9（b））。直角改变即剪应变 ??的大小为
?????????????????????????????????????????????????????????tan??又在直角三角形Obb′中有
?????????????????????????????????????????????????????????????????????bb'?rd?????????????????????????????????????????????????????????（b）
bb'bb'????????????????????????????????????????????? （a） abdx由（a）、（b）两式有
??????????????????????????????????????????????????????????????????????rd???????????????????????????????????????????????????????????（c） dx式（c）中可改写为?
d?d?称为扭转角沿轴线的变化率，通常用??来表示，即??。故式（c）dxdx????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????r????????????????????????????????????????????????????????????（d）?这一结果同样适用于距圆心为??的点所发生的剪应变，只要将r 改写为??，即?
（e）?????????????????????????????????????????????????????????????????
Mnk Mnkadxbd??b＇cc＇dx l(a)???k'rr a?d?dx (b)??bbc＇d???o?maxd?d??dAdArc＇(c)
图3-9 ??受扭圆轮的剪应变和剪应力?
式（e）表明：圆轴受扭转时横截面上距离圆心为??的某一点发生的剪应变与??成正比，因为对于同一截面上的各点??4.1.2
物理关系
d?为常量。?dx在图3-9（b）上，表示了作用在单元体上的剪应力??。对于弹性材料，当剪应力不超过剪切比例极限时（即???p），根据剪切胡克定律公式，可知剪应力??的大小为?
???????????????????????????????????????????????????????????????????p?G?p?G????????????????????????????????????????????????????????（f）?
式（f）表明横截面上某点的剪应力与该点到圆心的距离??成正比。剪应力与半径??垂直。剪应力沿半径的分布如图3-9（c）所示。 4.1.3
静力学关系
圆轴横截面上各微面积dA上的微剪力?pdA对圆心的力矩的总和必须与该截面上的扭矩Mn相等，故有
Mn??A??pdA?G??A?2dA?G?Ip （g）?
或??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????Mn （3-4-1）?GIp令式（g）中Ip??A?dA，Ip表示截面对原点O的极惯性矩。若截面的形状和尺寸已知，则可用积分求出Ip值。
对于直径为d的圆形截面，取
2dA?dsd? 而 ds??d?
故 Ip??A?dA??A???d?d???222?0d??d/20?d??3?d432 （h）
对于外径为D、内径为d（??d）的空心圆，有 D Ip??D432??d432??D432 (1??4) （i）
将式（3-4-1）代入式（f）中即可得到圆轴横截面上任一点（距圆心为??）的剪应力公式为
?p?Mn? （3-4-2）?Ip由式（3-4-2）可看出，对于同一横截面来说，Mn、Ip均为常量，剪应力只与??成正比，
??0???0（截面的圆心上），??d（截面的圆周上），剪应力达到最大值，有?2?max?Mn?maxMnM??n （3-4-3）?IpIp/?maxWp