式（3-4-3）中Wp?Ip?max，称为抗扭截面模量。
对实心轴 ?max对空心轴 ?maxd?d3 （j） ?, Wp?2163?DD (1??4) （k）? ,Wp?216极惯性矩Ip单位为mm4或m4。抗扭截面模量的单位为mm3或m3。 4.2 扭转变形
由式（3-4-1），??d?Mn 改写为 M?d??ndx dxGIpGIp两边积分可得相距为l的两截面的相对扭转角为
???lMndx （3-4-4）
GIp若在长度l内，扭矩Mn、G、Ip均为常量，则在此长度内两截面的相对扭角为
??Mnl （3-4-5） GIp式中??的单位是弧度（rad）?GIp称为抗扭刚度。?
第五节 圆轴扭转时的破坏现象
仍像拉压试验一样，取低碳钢与铸铁为代表性的材料。将其加工成标准试件后放在扭转试验机上进行试验。低碳钢的应力应变曲线如图3-10（a），曲线共分为线弹性、屈服与强化三个阶段。?s?、?b分别为屈服极限与强度极限
?s?MnsWp,?b?Mnb （3-5-1） Wp最后试件沿横截面发生剪切破坏（如图3-10（c））。对于铸铁，在整个扭转过程中，材料均处于非线性塑性阶段，故只有强度极限?b，如图3-10（b）。最后，试件是沿与轴线方向成45角的螺旋面发生拉断破坏（如图3-10（d））。根据后面要研究的应力状态分析知，低碳钢的扭转破坏是由危险点的最大剪应力引起沿横截面的破坏，而铸铁的扭转破坏则是由危险点的最大拉应力引起的。
°
???y?bo(a)低碳钢?o(b)铸铁?b?(c)(d)
图3-10 圆轴扭转应力－应变曲线与破坏情况
第六节 圆轴扭转时的强度与刚度计算
6.1 强度条件
在进行强度计算时，根据圆轴的情况，找出危险截面。对于等截面圆轴，Mnmax作用的截面为危险截面。危险截面上最外圈为危险点，危险点的应力状态亦为纯剪状态。其危险点的最大剪应力由式（3-4-3）求出。
受扭圆轴的强度条件是 ．．．．
?max?Mn?[?] （3-6-1） Wp式中的抗扭许用应力[?]应根据材料扭转时的力学性能来确定。
与轴向拉伸（或压缩）杆的情况相似，受扭圆轴的强度计算主要用于求解下列三类问题： （1） 强度校核。
（2） 截面选择。此时应将式(3-6-1)改写为
Wp?Mn [?]（3） 确定许可扭矩。此时应将(3-6-1)改写为
Mn?Wp[?]
6.2 刚度条件
在设计受扭圆轴时，不仅要保证其强度要求，而且要保证其刚度要求。通常是根据使用
条件，限制圆轴的单位扭转角??不得超过某一规定值???。一般???单位为?/m，故可得刚度条件表达为
??Mn180??[?]??????????????????????????????????????????????（?????）?GIp?????????例题3-2 有一闸门启闭机的传动圆轴。已知：材料为45号钢，剪切弹性模量G＝79GPa，抗剪许用应力[?]＝88.2MPa，许可单位扭转角[?]＝0.5?/m，使圆轴转动的电动机功率为16kW，转速为375r/min，经过减速之后，传动轴的转速降低为电动机转速的1/97.14（减速箱的速度比为97.14）。根据强度条件和刚度条件选择圆轴的直径。
解：（1）计算传动轴传递的扭矩 传动轴的转速 n?375?3.86r/min 97.14传送的扭矩为Mn?9.55Nk16?9.55??39.59kN?m n3.86??（?）由强度条件选择圆轴的直径?
Mn39.59?103需要的抗扭截面模量Wp??0.4488?10?3m3 6[?]88.2?10故d?316Wp??316?0.4488?10?3??0.132m?132mm
（?）由刚度条件选择圆轴的直径?因Ip?180MnG[?]?4
故 d?32?180?Mn432?180?39.59?103??0.156m?156mm 292G[?]?79?10?0.5??选择圆轴的直径d=160mm，它既能满足强度条件又能满足刚度条件。?
?例题3-3 图3-11（a）表示一两端固定的等截面圆轴AB，在截面C受到扭转外力偶矩m=3kN·m作用，若a =2m，b =1m。已知d=60mm，材料的G＝80×103MPa，试求圆轴横截面的最大剪应力和AC两截面的相对扭转角。
解 圆轴在扭转时，若圆轴的支座反力偶或横截面上的扭矩，仅用静力学平衡方程不能求解，这样的问题称为扭转超静定问题。求解这类问题的关键仍在于根据变形协调条件建立补充方程。
设A、B两端的支座反力偶矩分别为mA、mB，如图3-11（b）中所示。
根据静力平衡条件
?Mx?0，建立一个方程
ACalmA(a)mBbmmBx(b)
图3-11 例题3-3图
mA?mB?m （1）
因为（1）中的mA、mB均为未知量，一个方程无法确定两个未知量，故是扭转超静定问题，需要根据变形协调条件建立一个补充方程。
因圆轴两端固定，A、B二截面不会有相对转动，相对扭转角应为零，即
?AB??AC??CB?0 （2）
但由式（3-4-5）知
?AC??mAamb，??B
CBGIpGIp将其代入式（2）得
?mAamBb??0 （3） GIpGIp式（3）就是由变形协调条件建立的补充方程。 解联立方程组（1）、（3）即可得到
mA?mbl，mB?mal
其结果均为正，说明图3-11（b）中所示支座反力偶矩的转向都是正确的。
代入已知数据，可得各段截面的扭矩为 AC段：(Mn)ACCB段：(Mn)AB??mA??3?1??1kN?m 33?2?mB??2kN?m
3Mnmax?2kN?m
最大剪应力在CB段，其值为
?maxMn2?103???47.16?106N/m2?47.16MPa
1W??603?10?916AC两截面的相对扭转角
?AC(Mn)ACa??GIp1?103?2?0.0196rad?1.13? 4??6080?109??10?1232第七节 非圆截面杆在纯扭转时的应力和变形
试验现象表明，非圆截面杆受扭时，原来为平面的横截面不能再保持为平面。此时，圆轴扭转中所作的平面假设不再成立，公式（3-4-2）与（3-4-3）对于非圆截面杆将不再适用。
非圆截面杆扭转时，横截面不再保持为平面的现象称为翘曲。如果非圆截面杆扭转，相邻二截面翘曲程度完全相同时，横截面上将只有剪应力而没有正应力，这种扭转称为自由扭转；当两横截面的翘曲程度．．．．不同，横截面上将不但有剪应力，还有正应力，这种扭转称为约束扭转。自由扭转只有当等直杆在两端受．．．．到扭转力偶作用，且端面可自由翘曲的特殊条件下才有可能发生，至于约束扭转引起的正应力，在一般实体截面杆中通常都很小，可以忽略不计，但在薄壁杆中，这种正应力将成为不可忽略的量。 7.1
矩形截面杆
如图3-12（a）所示的矩形截面杆，若事先在其表面上用一系列的纵、横线画出许多小方格，则在杆扭转后（如图3-12（b））可以观察到如下的变形现象。
（1）所有的横线都变成了曲线，可见杆的横截面发生了翘曲，已不再是平面了；
（2）各小方格的边长没有改变，说明各横截面的翘曲程度相同，在横截面上不会产生正应力； （3）除靠近四条纵向棱边的小方格没有变形外，其它小方格的直角都发生了不同程度的改变（即发生了剪应变），且在横截面长边中点处小方格的直角改变最大。可见在横截面上有剪应力存在，且在长边中点的剪应力最大。
根据实验研究和弹性力学分析，可作出受扭矩形截面杆横截面的二对称轴及边缘上剪应力的分布图形，如图3-12（c）所示。下面我们给出一些有关的计算公式。
矩形横截面上的最大剪应力发生在长边中点A
?A??max?MnMn?Wnahb2 （3-7-1）