24．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点． （1）求该抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．
（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据旋转的性质可求出C的坐标和A的坐标，又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出该抛物线的解析式；
（2）四边形PEFM的周长有最大值，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，所以EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，利用函数的性质即可求出四边形PEFM的周长的最大值；
（3）在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，由（1）可求出抛物线的顶点坐标，过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4，解方程即可求出交点坐标．
【解答】解：（1）因为OA=4，AB=2，把△AOB绕点O逆时针旋转90°， 可以确定点C的坐标为（2，4）；由图可知点A的坐标为（4，0）， 又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，
得解得
，
所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；
（2）四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：
由题意，如图所示，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF， ∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，
则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10， ∴当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，Lmax=10；
（3）在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，理由如下：
∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4可知顶点坐标（2，4），
∴知道C点正好是顶点坐标，知道C点到x轴的距离为4个单位长度，
过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，
这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4 解得x1=2+∴N点坐标为N1（2+
，﹣4），N2（2﹣
，﹣4）．
，x2=2﹣
【点评】本题考查了旋转的性质、利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的最大值问题和函数图象的交点问题，题目的综合性很强，对学生的综合解题能力要求很高．
25．如图，矩形纸片ABCD中，AB=下操作（每次折叠后均展开）．
，BC=．某课题小组利用这张矩形纸片依次进行如
如图①，第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交与点O1，设O1D的中点为D1；如图②，第二次将纸片折叠，使点B与点D1重合，折痕与BD交与点O2，设O2D3的中点为D2；
如图③，第三次将纸片折叠，使点B与点D2重合，折痕与BD交与点O3，设O3D2的中点为D3； …
根据以上操作结果，回答下列问题：
（1）如图①，MN是折痕，求证：△DA′M≌△DCN；
（2）分别求出线段BO1、BO2、BO3的长，并直接写出第n次折叠后BOn的长（用含n的式子表示）；
（3）如图②，第二次折叠时，折痕一定会经过点A吗？请通过计算判断．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）首先证明DM=DN，再根据AAS即可判断． （2）根据题意求出BO1、BO2、BO3，寻找规律后即可解决问题．
（3）结论：第二次折叠时，折痕一定会经过点A．作AE⊥BD垂足为E，求出BE的长，证明点E与点O2重合即可．
【解答】（1）证明：如图①中，
∵四边形MNDA′是由四边形MNBA翻折得到，
∴∠ABN=∠A′DN=90°，∠BNM=∠MND， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ADC=90°， ∴∠BNM=∠DMN=∠DNM， ∴DM=DN， ∵∠A′DN=∠ADC， ∴∠A′DM=∠NDC， 在△DA′M和△DCN中，
，
∴△DMA′≌△DNC．
（2）如图③中，
，
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=90°，AB=CD=∴BD=
=
，BC=AD==4，
，
∵BO1=O1D=BD=2=
，
BO2=BD1==
，
BO3=BD2==… BOn=
．
，
（3）如图②中，结论：第二次折叠时，折痕一定会经过点A． 理由：作AE⊥BD垂足为E．
∵∠AEB=∠BAD=90°，∠ABE=∠BAD， ∴△ABE∽△DBA， ∴∴
==
， ，
∴BE=， ∵BO2=，
∴点E与点O2重合，
∴第二次折叠时，折痕一定会经过点A．
【点评】本题考查四边形的综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、翻折变换等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．